高等數學基礎.下 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:人民教育齣版社

作者:蔡俊亮

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2003-09-01

價格:17.20元

裝幀:簡裝本

isbn號碼:9787107170683

叢書系列:

圖書標籤:

• 高等數學
• 數學基礎
• 微積分
• 函數
• 極限
• 導數
• 積分
• 解析幾何
• 綫性代數
• 數學分析

高等數學基礎.下 概述 《高等數學基礎.下》旨在為讀者構建一個嚴謹而完整的數學知識體係，特彆側重於微積分學的深入探索。本書在前一捲的基礎上，將數學的視野進一步拓寬，深入到多元函數微積分、級數、嚮量微積分等核心領域，為讀者在科學、工程、經濟等諸多領域的研究與應用奠定堅實的理論基礎。本書強調概念的清晰闡釋、定理的嚴謹證明以及方法的有效運用，力求使讀者不僅掌握計算技巧，更能深刻理解數學的邏輯結構和內在聯係。 主要內容 第一部分：多元函數微積分 本部分是全書的核心，將微積分的概念從二維平麵推廣到三維空間及更高維度。 多元函數的基本概念： 定義域與值域： 引入瞭描述多元函數自變量取值範圍和函數值取值範圍的概念，包括開集、閉集、連通集等拓撲概念，為後續分析奠定基礎。 極限與連續性： 探討瞭多元函數在某點取得極限的條件，以及函數在該點連續的定義。這涉及到路徑法、夾逼法等判斷極限是否存在和求解的方法，以及理解不連續點的類型。 方嚮導數與梯度： 深入研究瞭函數在特定方嚮上的變化率（方嚮導數），並引齣瞭梯度這一重要的嚮量概念。梯度不僅指示瞭函數增長最快的方嚮，其模長也錶示瞭該方嚮上的變化速率。這為理解物理場（如溫度場、電場）的變化規律提供瞭數學工具。 多元函數的微分： 偏導數： 定義瞭多元函數對其中一個自變量求導的概念，並探討瞭偏導數的幾何意義，即函數麯麵在特定方嚮上的切綫斜率。 全微分： 引入瞭全微分的概念，它是函數在某點附近綫性近似的重要工具，對於近似計算和誤差分析至關重要。 高階偏導數與混閤偏導數： 討論瞭對偏導數再求偏導的情況，特彆是剋萊羅定理（Clairaut's Theorem），闡述瞭在一定條件下混閤偏導數相等的性質。 鏈式法則： 提供瞭復閤函數求導的通用方法，無論函數結構多麼復雜，都可以通過鏈式法則進行求解。 方嚮導數與梯度（進一步分析）： 結閤全微分，更加深入地理解瞭方嚮導數與梯度的關係，即方嚮導數等於梯度與單位方嚮嚮量的點積。 多元函數的極值問題： 無條件極值： 探討瞭如何利用偏導數求解多元函數在整個定義域內的局部最大值和最小值。這通常涉及到令一階偏導數等於零，並利用二階偏導數來判斷極值的性質（極大值、極小值或鞍點）。 條件極值（拉格朗日乘數法）： 引入瞭拉格朗日乘數法，這是求解受等式約束條件下的多元函數極值問題的強大工具。通過引入拉格朗日乘子，將條件極值問題轉化為無條件極值問題。 重積分： 二重積分： 將定積分的概念推廣到二維區域。通過黎曼和的極限定義，引入瞭二重積分的概念，並探討瞭其幾何意義（如計算體積）。 纍次積分（Fubini定理）： 闡述瞭在適當條件下，二重積分可以轉化為兩個定積分的乘積，即“先對x積分，再對y積分”或者“先對y積分，再對x積分”。這極大地簡化瞭二重積分的計算。 變量替換（坐標變換）： 介紹瞭在二重積分中進行變量替換的方法，特彆是極坐標變換，可以顯著簡化具有對稱性的區域上的積分計算。 三重積分： 將積分概念推廣到三維空間，用於計算三維區域的體積、質量等。同樣可以通過纍次積分和變量替換進行計算。 第二部分：嚮量微積分 本部分將微積分的工具應用於嚮量場，是描述物理現象（如流體流動、電磁場）的關鍵。 麯綫積分： 第一類麯綫積分（標量函數沿麯綫積分）： 計算標量函數沿麯綫的積分，其幾何意義可以理解為在麯綫上某物理量的纍積量，例如求麯綫的質量。 第二類麯綫積分（嚮量函數沿麯綫積分）： 計算嚮量場沿麯綫的積分，其物理意義通常是力在位移上的功。 格林公式： 概念與應用： 格林公式是連接平麵區域上的二重積分與該區域邊界上的第二類麯綫積分的橋梁。它在計算麵積、求解與保守場相關的積分等方麵有重要應用。 麯麵積分： 第一類麯麵積分（標量函數沿麯麵積分）： 計算標量函數在麯麵上的積分，例如計算麯麵的質量。 第二類麯麵積分（嚮量場通過麯麵的通量）： 計算嚮量場通過某個麯麵的“流量”或“通量”，例如計算單位時間內流體通過某錶麵的體積。 高斯公式（散度定理）： 概念與應用： 高斯公式是連接三維空間中體積上的散度積分與該體積邊界上的麯麵積分的橋梁。它在電磁學、流體力學等領域有著極其重要的應用，例如描述瞭散度與通量的關係。 斯托剋斯公式： 概念與應用： 斯托剋斯公式是連接三維空間中麯麵上鏇度積分與該麯麵邊界上的麯綫積分的橋梁。它揭示瞭鏇度與環量之間的關係。 第三部分：無窮級數 本部分研究無窮項的和，是分析函數性質、構造特殊函數以及數值計算的重要理論基礎。 數列的極限與收斂： 基本概念： 引入數列的概念，並探討其收斂性的定義和判彆方法（如單調有界定理）。 柯西收斂準則： 提供瞭一個不依賴於極限值的收斂判彆方法。 無窮級數的收斂性： 定義與斂散性判彆： 定義瞭無窮級數，並提齣瞭各種判彆級數收斂性的方法，包括： 比較判彆法： 將待判級數與已知斂散性的級數進行比較。 比值判彆法和根值判彆法： 利用相鄰項的比值或n次方根的極限來判斷收斂性，特彆適用於指數形式的級數。 積分判彆法： 將級數的收斂性與對應函數的積分收斂性聯係起來。 交錯級數判彆法（萊布尼茨判彆法）： 專門用於判斷交錯級數的收斂性。 絕對收斂與條件收斂： 區分瞭級數收斂和其各項絕對值構成的級數收斂的情況，引入瞭絕對收斂和條件收斂的概念，並闡述瞭它們的性質差異。 冪級數： 定義與收斂域： 引入瞭以變量的冪次形式錶示的冪級數，並探討瞭其收斂半徑和收斂域。 性質： 探討瞭冪級數的和函數在收斂域內的性質，包括逐項求導和積分的閤法性。 泰勒級數與麥剋勞林級數： 這是冪級數中最重要的應用之一。通過將任意可展成冪級數的函數錶示成無窮多項式，極大地豐富瞭函數的錶示方法，並為函數逼近提供瞭理論基礎。 傅裏葉級數： 概念與展開： 傅裏葉級數是用於將周期函數錶示成三角函數（正弦和餘弦函數）無窮和的數學工具。 收斂性與應用： 探討瞭傅裏葉級數的收斂性，以及其在信號處理、偏微分方程求解等領域的廣泛應用。 學習目標與價值 通過《高等數學基礎.下》的學習，讀者將能夠： 1. 深刻理解多元函數行為： 掌握分析多元函數極限、連續性、微分以及極值的方法，能夠理解和描述三維空間中復雜形體的性質。 2. 熟練運用微積分工具： 能夠靈活運用偏導數、全微分、鏈式法則等工具解決實際問題，並能通過二重、三重積分計算體積、質量等量。 3. 掌握嚮量微積分的精髓： 理解麯綫積分、麯麵積分以及與之相關的格林公式、高斯公式、斯托剋斯公式，能夠分析嚮量場在空間中的運動和分布規律。 4. 洞悉無窮級數的奧秘： 掌握判斷級數收斂性的各種方法，理解冪級數、泰勒級數、傅裏葉級數的概念和性質，並能將其應用於函數展開、逼近與近似計算。 5. 構建嚴謹的數學思維： 培養邏輯推理能力、抽象思維能力和解決復雜問題的能力，為進一步學習更高級的數學知識和相關專業領域打下堅實基礎。 本書的深入探討和嚴謹證明，不僅能夠滿足數學專業學生的需求，也為物理、工程、經濟、計算機科學等領域的學習者提供寶貴的數學養分，幫助他們理解和解決更深層次的科學技術問題。

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說實話，我買這本書純粹是因為聽朋友推薦說它對“綫性代數”的講解非常透徹，但當我翻開後，發現它更像是一本全方位的數學基礎整閤讀本，而不僅僅是某一特定領域的專攻。這本書的敘述風格偏嚮於理論構建，它不是那種用大量簡化例子來“喂飽”讀者的教材，而是鼓勵讀者自己去思考和構建知識體係。例如，它對嚮量空間和特徵值的闡釋，建立在紮實的集閤論和映射概念之上，讀起來需要投入相當的精力去跟進作者的思路。我個人喜歡這種挑戰性，它迫使我不能隻是記住結論，而必須理解背後的邏輯框架。對於那些追求學術深度，不滿足於錶麵計算的讀者，這本書無疑是一劑良藥。但對於隻想應付考試的同學，可能會覺得它的節奏稍慢，且對基礎要求較高，可能需要搭配其他更“實用型”的輔導資料使用。

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我拿到這本教材的時候，主要目的是想找一本能係統梳理微積分核心概念的工具書，畢竟工作需要時不時接觸到一些工程計算。這本書在內容組織上顯得尤為紮實，沒有過多花哨的修飾，直奔主題。它在偏微分、多重積分這塊的闡述堪稱教科書級彆的典範，公式的推導過程清晰、嚴密，每一步的依據都標注得清清楚楚，這對於需要精確驗證的讀者來說簡直是福音。我特彆欣賞它在章節末尾提供的“曆史背景與應用拓展”部分，它不僅解釋瞭為什麼我們需要學習這些復雜的工具，還展示瞭它們在物理學和經濟學中的實際作用，極大地拓寬瞭我的視野。唯一的遺憾是，書本的裝幀相對比較厚重，攜帶起來不太方便，如果能齣一個輕便的口袋速查版本，那就太完美瞭。但就內容深度和廣度而言，這本書無疑是同類書籍中的佼佼者，是工具箱裏不可或缺的一把“瑞士軍刀”。

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這本書在處理“級數”部分時，展現齣瞭與其他教材截然不同的處理方式，它似乎更側重於應用層麵的直觀理解，而非純粹的理論證明的堆砌。它大量使用瞭泰勒級數在數值分析中的近似計算案例，甚至還涉及瞭傅裏葉級數在信號處理中的基礎概念，這讓我深切體會到這些抽象概念是如何轉化為解決實際問題的有力工具的。這種“學以緻用”的導嚮性非常強。盡管如此，書中在介紹高階微積分中的一些更抽象的拓撲概念時，篇幅顯得稍有不足，似乎為瞭平衡整體的篇幅而有所取捨。總而言之，如果你的目標是快速掌握高等數學的應用技能，並希望看到數學是如何驅動現代科技發展的，那麼這本書絕對值得你花時間去深入研讀，它提供的視角是新鮮且富有洞察力的。

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我對這本教材的印象是：它是一本極具“人文關懷”的數學書。它的排版和字體選擇非常柔和，長時間閱讀眼睛也不會感到疲勞，這對於需要長時間伏案學習的讀者來說是巨大的加分項。在講解完復雜的積分技巧之後，作者總會穿插一些關於數學傢的小故事或者關於數學美學的感悟，這使得冰冷的數字世界瞬間充滿瞭人情味。我尤其喜歡它對“反常積分”的處理，作者沒有直接給齣繁復的公式，而是通過幾何圖形的麵積計算問題，一步步引導我們發現積分的局限性和拓展的必要性，這種循序漸進的引導方式，讓人感覺像是有一位耐心且富有經驗的導師在身邊親自授課。這本書成功地模糊瞭“教材”與“科普讀物”之間的界限，讓學習數學不再是一件苦行僧般的事情。

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這本書的封麵設計真是讓人眼前一亮，那種深邃的藍色調搭配著簡潔的幾何圖形，透露齣一種嚴謹又不失現代感的學術氣息。我記得當時在書店裏被它吸引，隨手翻開幾頁，就被其中清晰的邏輯推導和圖文並茂的講解方式所摺服。特彆是關於極限和連續性的章節，作者用非常生活化的例子來解釋抽象的概念，讓我這個以前對數學有畏懼心理的人，竟然能大緻理解那些復雜的定義。書中的習題設計也很有層次感，從基礎的鞏固性練習到具有挑戰性的綜閤應用題，每一步都像是精心鋪設的階梯，引導讀者逐步攀登知識的高峰。不過，坦白說，對於初學者來說，某些證明過程還是略顯跳躍，需要反復研讀纔能完全領會其精髓。總的來說，這是一本非常適閤作為入門教材，或者作為進階學習的參考手冊，它成功地將枯燥的數學理論變得觸手可及，極大地激發瞭我對高等數學學習的熱情。

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