Principles of Mathematical Analysis

出版者:McGraw-Hill Education

作者:Walter Rudin

页数:325

出版时间:1976-2-16

价格:GBP 119.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9780070542358

丛书系列:International Series in Pure and Applied Mathematics

具体描述

The third edition of this well known text continues to provide a solid foundation in mathematical analysis for undergraduate and first-year graduate students. The text begins with a discussion of the real number system as a complete ordered field. (Dedekind's construction is now treated in an appendix to Chapter I.) The topological background needed for the development of convergence, continuity, differentiation and integration is provided in Chapter 2. There is a new section on the gamma function, and many new and interesting exercises are included.

This text is part of the Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics.

目录信息

Chapter 1 The Real and Complex Number Systems 1
Introduction 1
Ordered Sets 3
Fields 5
The Real Field 8
The Extended Real Number System 11
The Complex Field 12
Euclidean Spaces 16
Appendix 17
Exercises 21
Chapter 2 Basic Topology 24
Finite, Countable, and, Uncountable Sets 24
Metric Spaces 30
Compact Sets 36
Perfect Sets 41
Connected Sets 42
Exercises 43
Chapter 3 Numerical Sequences and Series 47
Convergent Sequences 47
Subsequences 51
Cauchy Sequences 52
Upper and Lower Limits 55
Some Special Sequences 57
Series 58
Series of Nonnegative Terms 61
The Number e 63
The Root and Ratio Tests 65
Power Series 69
Summation by Parts 70
Absolute Convergence 71
Addition and Multiplication of Series 72
Rearrangements 75
Exercises 78
Chapter 4 Continuity 83
Limits of Functions 83
Continuous Functions 85
Continuity and Compactness 89
Continuity and Connectedness 93
Discontinuities 94
Monotonic Functions 95
Infinite Limits and Limits at Infinity 97
Exercises 98
Chapter 5 Differetiation 103
The Derivative of a Real Function 103
Mean Value Theorems 107
The Continuity of Derivatives 108
L'Hospital's Rule 109
Derivatives of Higher Order 110
Taylor's Theorem 110
Differentiation of Vector-valued Functions 114
Chapter 6 The Riemann-Stieltjes Integral 120
Definition and Existence of the Integral 120
Properties of the Integral 128
Integration and Differentiation 133
Integration of Vector-valued Functions 135
Rectifiable Curves 136
Chapter 7 Sequences and Series of Functions 143
Discussion of Main Problem 143
Uniform Convergence 143
Uniform Convergence and Continuity 149
Uniform Convergence and Integration 151
Uniform Convergence and Differentiation 152
Equicontinuous Families of Functions 154
The Stone-Weierstrass Theorem 159
Exercises 165
Chapter 8 Some Special Functions 172
Power Series 172
The Exponential and Logarithmic Functions 178
The Trigonometric Functions 182
The Algebraic Completeness of the Complex Field 184
Fourier Series 185
The Gamma Function 192
Exericises 196
Chapter 9 Functions of Several Variables 204
Linear Transformations 204
Differentiation 211
The Contraction Principle 220
The Inverse Function Theorem 221
The Implicit Function Theorem 223
The Rank Theorem 228
Determinants 231
Derivatives of Higher Order 235
Differentiation of Integrals 236
Exercises 239
Chapter 10 Integration of Differential Forms 245
Integration 245
Primitive Mappings 248
Partitions of Unity 251
Change of Variables 252
Differential Forms 253
Simplexes and Chains 266
Stokes' Theorem 273
Closed Forms and Exact Forms 275
Vector Analysis 280
Exercises 288
Chapter 11 The Lebesgue Theory 300
Set Functions 300
Construction of the lebesgue Measure 302
Measure Spaces 310
Measurable Functions 310
Simple Functions 313
Integration 314
Comparison with the Riemann Integral 322
Integration of Complex Functions 325
Functions of Class L2 325
Exercises 332
Bibliography 335
List of Special Symbols 337
Index 339
· · · · · · (收起)

读后感

我接触过的微积分类和数学分析类的书里面，这本书写的最简洁最优美的。整体说来此书适合用来升华你对数学分析的理解，而无法用它来构建你分析的基础。篇幅的限制，多维微积分部分内容很少，但是又很抽象。rudin把多维完全放在向量微分学的框架下面处理，这样事半功倍，一下...  

本书是香港中文大学深圳数学系数学分析课的参考书，内容的难度相当高，前七章，最惊艳的部分是从Basic Topology开始。这本书在引用了拓扑的概念之后，后面的全是大招（吐血），我当时学的时候拓扑那一节，来回看了四遍（其实还是不太懂），第二个最难的地方出现在第十章，当时...  

做QUAN要修实分析是师门规矩，既然说了自己对analytical感兴趣就打死都要修完。。。课上前两次就已经无数次吐晕在办公室，没什么数学基础的去看，真的是不知所云。 前两章各种存在证明的思路貌似我到现在都没搞明白，以至于去看微观证明的时候，也是看不懂思路。 直到第四次期...  

此书名声过大，我是layman根本不足对其评头论足，以下只是粗浅的读后感。 在这么有限的篇幅较深刻简洁漂亮地、深度和广度上都恰到好处地处理了分析的基础问题，对比陈天权的三册可以明显看出功力的差距。 习题难度适中，做一遍还是很有必要的。 初学者不宜读，这貌似是共有...  

用户评价

《Principles of Mathematical Analysis》这本书，在我看来，更像是一次与数学灵魂的对话。它的语言简洁、精准，每一个词语都承载着深厚的数学意义，不容一丝一毫的含糊。我并非数学科班出身，当初选择这本书，更多的是出于对数学抽象之美的向往。刚开始阅读时，我常常被书中流畅的证明所吸引，作者的思路清晰得如同潺潺流水，将复杂的定理一步步推导出来，让人心服口服。但随着深入，我发现这本书的魅力远不止于此。它不仅仅是列举公式和证明，更是在展示一种解决问题的哲学。例如，书中关于紧集的概念，作者通过一系列定义和性质的阐述，让我看到了空间中“边界”和“稠密”的精妙联系，这种理解层面的提升，是任何速成教材都无法给予的。我至今还记得，在学习勒贝格积分部分时，我花了大量时间去理解“可测集”和“几乎处处”这些概念。最初，这些术语让我感到陌生甚至有些抽象，但通过书中一系列由浅入深的例子和论证，我逐渐捕捉到了它们的精髓。作者巧妙地将实数集上的测度概念推广到了更一般的集合上，这种思想的升华，让我对积分的本质有了全新的认识。这本书的章节安排也十分合理，循序渐进，每一章都建立在前一章的基础上，形成了一个坚实的知识体系。虽然有时会遇到难以理解的证明，需要反复回溯前面的内容，但这恰恰是学习过程中的宝贵财富，它强迫你去巩固基础，加深理解。我尤其喜欢书中对于反例的探讨，这些反例不仅澄清了概念的边界，也展现了数学思维的严谨性。在我看来，《Principles of Mathematical Analysis》不仅仅是一本教材，它更像是一本数学思想的启迪者，引导读者去思考数学的本质，去感受数学逻辑的魅力。

坦白说，《Principles of Mathematical Analysis》这本书，对我而言，更像是一座精神的灯塔，指引着我在数学的海洋中前行。我当初选择这本书，很大程度上是因为它在数学界享有盛誉，被认为是理解现代分析的基石。刚翻开的时候，我确实被其严谨的论证和深邃的数学语言所震撼。它不像某些过于“亲民”的教材，一开始就试图用最浅显的比喻来解释概念，而是直接将读者引入到抽象的世界，要求读者具备一定的数学基础和思考能力。我记得在阅读关于极限的章节时，作者对序列极限的定义，以及后面epsilon-delta定义，让我体会到了数学定义的精确性和严密性。那种感觉，就像是第一次看到一把锋利的解剖刀，能够精准地剖析数学对象的内在结构。书中对于度量空间、拓扑空间等抽象概念的引入，更是将我的视野从单一的实数域拓展到了更广阔的空间。我曾花了好几晚的时间去理解“开集”、“闭集”、“紧集”这些概念在度量空间中的推广。这种抽象的思维训练，让我开始用一种全新的视角去看待数学问题。书中的习题也并非易事，很多题目都需要深入理解定理的内涵，并结合实际情况进行创造性的应用。我曾因为一道关于紧集的题目，反复思考了三天，尝试了多种方法，最终才在书的附录中找到了一些提示，但即便如此，证明过程也并非一蹴而就。这本书培养了我一种不畏难、不畏繁的数学精神。它让我明白，真正的理解，并非来自表面的记忆，而是源于对事物内在逻辑的深刻把握。这本书所带来的，不仅仅是数学分析的知识，更是一种批判性思维和解决复杂问题的能力。

《Principles of Mathematical Analysis》这本书，在我看来，更像是一部数学思想的百科全书，指引我探索分析学的奥秘。我之所以对这本书产生浓厚兴趣，是因为它在数学界被誉为“圣经”级别的著作，能够帮助我建立起对现代数学分析的全面而深刻的认识。刚开始接触这本书时，我被其严谨的定义和清晰的证明所深深吸引。作者的语言风格精准而简洁，每一个词语都承载着深厚的数学内涵，不允许丝毫的含糊。我清晰地记得，在学习关于函数极限和连续性的章节时，书中对epsilon-delta定义的细致阐述，让我深刻体会到了数学的严谨与精确。那段时间，我常常需要在草稿纸上反复演算，试图理解每一个细节。书中的一些定理，例如中值定理、泰勒定理等，都让我看到了数学在描述现实世界中的强大力量。我曾尝试将书中的理论应用于解决一些简单的工程问题，虽然过程复杂，但最终的结论却与实际情况高度吻合，这让我对数学的实用价值有了更深的认识。这本书的章节安排也十分合理，循序渐进，每一章都建立在前一章的基础上，形成了一个坚实的知识体系。虽然有时会觉得书中的内容过于抽象，需要反复琢磨，但这恰恰是它价值所在——它迫使我去思考，去探索，去发现数学的奥秘。这本书，不仅仅是在教授数学分析的知识，更是在塑造一种严谨、求实的学术态度。

《Principles of Mathematical Analysis》这本书，对我来说，就像是一座巍峨的山峰，等待着勇敢的攀登者去征服。我最初是被它在数学界的名气所吸引，抱着学习顶尖数学分析知识的目的购入。翻开书页，我便被其严谨的数学逻辑和深刻的论证所折服。作者的行文风格直接而有力，很少有华而不实的辞藻，每一个公式、每一个定理都直击数学的核心。我记得在学习函数序列和函数级数的收敛性时，作者对一致收敛性的定义和证明，让我对“无限”这一概念有了更深的理解。那种感觉，就像是在黑暗中点燃了一盏明灯，照亮了原本模糊不清的数学世界。书中对于连续函数、可微函数等基本概念的深入剖析，让我看到了数学的精妙之处。我曾为了理解“一致连续”与“连续”的区别，花费了数天时间，反复推敲书中的例子和证明，直到豁然开朗。这种深入探究的过程，让我体会到了数学的魅力所在——它不仅仅是符号的堆砌，更是思想的升华。这本书的习题也并非等闲之辈，很多题目都极具挑战性，需要读者将所学知识融会贯通，并进行创造性的思考。我曾因为一道关于度量空间中紧集的习题，反复钻研了许久，尝试了各种方法，最终才得以解决。这让我深刻体会到，真正的数学能力，并非来自于死记硬背，而是来自于对概念的深刻理解和灵活运用。这本书，在我看来，不仅仅是一本数学分析的教科书，更是一部数学思维的训练手册。

《Principles of Mathematical Analysis》这本书，在我看来，更像是一次与数学深邃灵魂的邂逅。我当初之所以被这本书吸引，是因为它被广泛认为是数学分析领域的经典之作，能够帮助我建立起扎实的数学根基。刚开始阅读时，我被其严谨的数学语言和清晰的逻辑结构所吸引。作者以一种极其严谨的态度，定义了每一个概念，证明了每一个定理，让人仿佛置身于一个纯粹的数学世界。我至今还清晰地记得，在学习序列收敛的epsilon-delta定义时，我花了很多时间去理解其内涵。那种精确到小数点后很多位的定义，让我对数学的严谨性有了全新的认识。书中的证明，往往是层层递进，环环相扣，如同精密的机械装置，每一个齿轮都发挥着不可或缺的作用。我曾因为一道关于函数极限的证明题，反复推敲了几个晚上，试图找到最简洁、最严谨的证明方式。最终，当我完成证明的那一刻，那种成就感是无法言喻的。这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养一种解决数学问题的能力。它教会我如何去分析问题，如何去构建证明，如何去发现数学的美。我尤其喜欢书中对于一些概念的深入探讨，例如“可数集”、“不可数集”等，这些概念的引入，极大地拓展了我对数学集合的认知。虽然有时会觉得书中的内容过于抽象，需要反复琢磨，但这恰恰是它价值所在——它迫使你去思考，去探索，去发现数学的奥秘。

这本《Principles of Mathematical Analysis》真是一本让人又爱又恨的经典之作。初次翻开它，我带着一丝对数学分析的敬畏和期待。书中的证明严谨到几乎滴水不漏，每一个定义、每一个定理都仿佛是精心雕琢的艺术品。对于我这样的初学者来说，起初是有些吃力的，特别是那些epsilon-delta的论证，常常需要反复推敲，甚至画图辅助理解。然而，正是这种“啃硬骨头”的过程，让我对数学分析的理解不再停留在表面，而是深入到了其内在的逻辑结构。我记得有一次，为了弄懂一个关于一致收敛的定理，我在书桌前坐了整整一个下午，不断地在草稿纸上写写画画，试图找到那个连接已知和未知的桥梁。最终，当那个“aha moment”降临时，那种豁然开朗的喜悦感是难以言喻的。这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养一种严谨的数学思维。它迫使你去质疑，去探究，去证明。虽然过程中充满了挑战，但每一次克服困难，都让我对数学的理解更上一层楼。它就像一位严苛但公正的老师，不给你偷懒的机会，却在你进步时给予最真挚的肯定。我常常会带着问题去翻阅它，然后惊叹于作者是如何将复杂的概念抽丝剥茧，呈现出如此简洁而深刻的洞察。书中的习题也是一大亮点，有些题目看似简单，实则蕴含深意，需要融会贯通才能解答。我曾花了数天时间去攻克一道关于傅里叶级数的难题，最终通过反复尝试和调整思路，才勉强找到了一条可行的路径。这让我深刻体会到，数学学习的过程，并非一蹴而就，而是需要耐心、毅力和不断的实践。这本书，无疑是为那些真正热爱数学、渴望深入理解其精髓的人准备的。它提供的不仅仅是数学分析的知识体系，更是一种对待学术的态度，一种对真理的执着追求。

《Principles of Mathematical Analysis》这本书，对我而言，是一次深度挖掘数学真理的旅程。我选择这本书，是因为它在数学界享有极高的声誉，被认为是理解现代数学分析的必读之作。初次翻阅，我就被其精炼的语言和严密的逻辑所震撼。作者的写作风格直截了当，不含糊，不拖泥带水，每一个公式和定理都仿佛经过了千锤百炼，呈现出最本质的状态。我记得在学习关于函数的连续性和一致连续性时，书中对这些概念的细致区分和严谨证明，让我深刻理解了数学定义的精确性。那种感觉，就像是在朦胧的雾中，逐渐拨云见日，看清了事物的本来面目。书中对于度量空间、拓扑空间等抽象概念的介绍，为我打开了全新的数学视野。我曾花了好几天的时间去理解“开集”、“闭集”、“紧集”在这些抽象空间中的性质。这种思维的跳跃，让我开始用一种更宏观、更抽象的视角来审视数学问题。书中的习题也是一大挑战，很多题目都需要将所学知识融会贯通，并进行深入的分析和推理。我曾因为一道关于紧集的习题，反复尝试了多种证明思路，最终才得以解决。这让我深刻体会到，真正的数学学习，并非仅仅是记忆公式，更是对数学思想的深刻理解和灵活运用。这本书，不仅仅是在教授数学分析的知识，更是在塑造一种严谨、求实的学术精神。

《Principles of Mathematical Analysis》这本书，对于我这样还在数学殿堂门外徘徊的人来说，是一场充满挑战却又收益匪浅的探索之旅。一开始，我被其简洁明了的标题所吸引，以为能够从中获得对数学分析的全面认知。然而，书中的内容立刻让我意识到，这绝非一本轻松读物。作者的语言如同精密的仪器，每一个术语都经过了严格的定义和审视，不允许丝毫的模糊。我清晰地记得，在学习导数与积分的关系时，书中关于黎曼积分的定义，以及随后对牛顿-莱布尼茨公式的严格证明，都让我惊叹于数学家们如何将直观的面积概念上升到如此严谨的理论高度。那段时间，我常常需要在图书馆里查阅资料，对比不同的定义和证明方法，试图找到最符合自己理解的路径。书中的一些定理，例如泰勒定理和傅里叶级数，都让我看到了数学在描述和逼近现实世界中的强大力量。我曾尝试用书中的方法来分析一些简单的物理现象，虽然过程繁琐，但最终的结论却与实际观察高度吻合，这让我对数学的预言能力有了更深的敬畏。这本书的写作风格非常独特，它注重逻辑的连贯性和证明的完备性，很少有冗余的解释，更多的是依靠读者自身的思考去填补细节。这对于初学者来说，无疑是一大考验，但也正是这种挑战，激发了我更强的学习动力。我曾因为一道关于一致收敛的习题，反复修改了数次证明，每次都发现新的漏洞。最终，在多次尝试后，我终于完成了一个相对完整的证明，那种成就感至今难忘。这本书，不仅仅是在教授数学分析的知识，更是在塑造一种严谨、求实的学术态度。

《Principles of Mathematical Analysis》这本书，在我看来，是一次与数学核心逻辑的亲密对话。我当初之所以选择这本书，是因为它被公认为是一部奠基性的著作，能够帮助我构建起对高等数学分析扎实的理解。翻开书页，我便被其简洁而深刻的数学语言所折服。作者的风格直指本质，每一个概念的定义都精确到极致，每一个定理的证明都严谨到无可挑剔。我至今还清晰地记得，在学习关于度量空间和拓扑空间的章节时，作者对“开集”、“闭集”等概念的抽象化处理，让我看到了数学思想的巨大飞跃。那种感觉，就像是从一幅具体的风景画，跃升到了一张宏观的地图，能够把握事物的整体结构。书中的证明，往往是层层递进，环环相扣，如同精密的机械装置，每一个齿轮都发挥着不可或缺的作用。我曾因为一道关于一致收敛的证明题，反复推敲了数个晚上，试图找到最简洁、最严谨的证明方式。最终，当我完成证明的那一刻，那种成就感是无法言喻的。这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养一种解决数学问题的能力。它教会我如何去分析问题，如何去构建证明，如何去发现数学的美。我尤其喜欢书中对于一些反例的探讨，这些反例不仅澄清了概念的边界，也展现了数学思维的严谨性。虽然有时会觉得书中的内容过于抽象，需要反复琢磨，但这恰恰是它价值所在——它迫使我去思考，去探索，去发现数学的奥秘。

《Principles of Mathematical Analysis》这本书，对我而言，是一次充满挑战但又极其 rewarding 的数学探险。我之所以选择了这本书，是因为它在数学分析领域有着不可撼动的经典地位，是我希望建立起坚实理论基础的重要选择。翻开书页，扑面而来的便是其严谨的数学论证和精妙的数学语言。作者的写作风格极其简洁，直指数学的核心概念，不带任何多余的解释，仿佛是一位技艺精湛的数学家在展示他的思考过程。我至今仍清晰地记得，在学习关于序列和级数收敛性时，书中对一致收敛的定义和证明，让我对“无限”这一概念有了前所未有的深刻理解。那段经历，仿佛是将我置于一个由精密逻辑构建的迷宫中，我需要仔细辨认每一个符号，理解每一个推理，才能最终找到出口。书中对于实数域的深入探讨，以及对函数空间的引入，都让我看到了数学的广阔与深邃。我曾花费大量时间去理解“康托集”的构造和性质，以及它所揭示的关于实数稠密性和不可数性的深刻道理。这种对基础概念的深入挖掘，让我对数学的本质有了更深的感悟。这本书的习题也绝非等闲之辈，很多题目都需要读者具备扎实的理论基础和敏锐的数学直觉。我曾因为一道关于傅里叶级数收敛性的习题，反复推敲了数个晚上，尝试了多种证明方法，最终才勉强找到一条可行的路径。这让我深刻体会到，真正的数学学习，需要的是耐心、毅力和对知识的不懈追求。这本书，在我看来，不仅仅是一本教材，更是一次对数学思维的深度训练。

Best book for Mathematical Analysis. End. Great textbook used by Prof Piotr Hajłasz in his fantastic course "Mathematical Analysis", preparing for PhD Prelim exam. One of the best professor I have ever met.

ch10的微分形式二刷达成

贵

MATH 5615H & 5616H: Honors: Introduction to Analysis I & II 经典神作

去年在家闲极无聊，读了一本鲁丁，一本罗素，现在看来受益匪浅