綫性代數輔導與習題精解 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:哈爾濱工程大學

作者:本社

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2005-2

價格:12.0

裝幀:平裝

isbn號碼:9787810736657

叢書系列:

圖書標籤:

• 綫性代數
• 高等數學
• 大學教材
• 輔導書
• 習題集
• 精解
• 考研
• 數學輔導
• 工程數學
• 數值計算

深入解析：代數結構與空間變換的基石 《代數結構與空間變換：現代數學的視角》 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入且富有洞察力的代數理論框架，重點聚焦於綫性代數的核心概念，並將其置於更廣闊的現代數學結構之中進行探討。我們避免陷入初級計算技巧的重復，而是著力於理解綫性代數背後的深刻數學原理、邏輯結構及其在不同學科中的應用潛力。 第一部分：域、模與嚮量空間的奠基 本部分首先迴顧瞭抽象代數中的基本概念，如群、環和域，但迅速將焦點轉移到綫性代數賴以生存的基礎——域（Field）的選擇上。我們詳細分析瞭不同特徵域（如實數域 $mathbb{R}$、復數域 $mathbb{C}$、有限域 $mathbb{F}_p$）對嚮量空間結構的影響，強調瞭代數結構對後續幾何解釋的重要性。 隨後，我們引入模（Module）的概念，作為嚮量空間的推廣。雖然嚮量空間是域上的模，但模的引入使得我們可以探討更一般的代數環境下的綫性關係。我們深入剖析瞭模與嚮量空間的本質區彆，尤其是在結構是否具有“平坦性”方麵的差異，這為理解更高級的同調代數打下瞭基礎。 核心內容集中於嚮量空間的嚴謹定義、子空間、商空間以及同構理論。我們不僅僅停留在基底和維數的計算上，而是運用範疇論的視角，將嚮量空間視為 $ ext{Vec}_F$ 範疇中的對象，利用函子（Functor）來研究不同域之間綫性結構如何保持或改變。例如，張量積（Tensor Product）的定義將通過通用的萬有性質（Universal Property）給齣，而非僅僅依賴於坐標錶示。 第二部分：綫性映射與結構保持 綫性映射（或稱綫性算子）是連接不同嚮量空間的橋梁。本部分著重於分析這些映射如何保持代數結構。我們詳細討論瞭核（Kernel）與像（Image）的關係，以及同構定理的普適性。 矩陣理論被提升到更高的抽象層次。矩陣不再僅僅是數字的矩形排列，而是綫性映射在特定基下的錶示。我們探討瞭相似變換（Similarity Transformation）的本質——改變基底而不改變底層的綫性算子。這自然引齣瞭特徵值問題的幾何意義：特徵嚮量是那些僅被拉伸而不被鏇轉的特殊方嚮。 本章深入探討瞭Jordan標準型的理論基礎，但重點在於其存在的必然性——即任何綫性算子在適當選擇的基下都可以被簡化為最接近對角化的形式。我們使用初等因子理論和不變因子的概念來刻畫綫性算子，這比單純依靠特徵多項式提供瞭更精細的結構信息。 第三部分：對偶空間與雙綫性形式 對偶空間（Dual Space）是理解綫性泛函和幾何結構的關鍵。我們詳細論述瞭對偶基（Dual Basis）的構造及其與原基底的關係。對於有限維空間，對偶空間與原空間同構，但這種同構依賴於基的選擇；而自然同構（例如，通過雙對偶空間 $ ext{V}^{} cong ext{V}$）揭示瞭更深層的代數不變性。 接下來的章節聚焦於雙綫性形式（Bilinear Forms），包括內積空間（如歐幾裏得空間和希爾伯特空間）。我們強調瞭正交性、Gram矩陣以及Gram-Schmidt過程的代數解釋。對於一般的雙綫性形式，我們運用閤同（Congruence）的概念，通過閤同標準形來分類這些形式，例如Sylvester的慣性定律。 對於復數域上的空間，我們引入瞭共軛雙綫性形式（Hermitian Form），並探討瞭自伴隨算子（Adjoint Operators）在保持這些結構下的重要性。算子的譜理論（Spectral Theory）在這裏得到瞭初步的介紹，解釋瞭正規算子（Normal Operators）與酉對角化（Unitary Diagonalization）之間的內在聯係。 第四部分：張量代數與多綫性結構 本書的最後部分將視角拓展到多綫性代數。張量（Tensor）被定義為在多個嚮量空間上具有綫性性質的對象，這超越瞭嚮量和綫性映射的範疇。我們詳細區分瞭張量積（Tensor Product）、對稱積（Symmetric Product）和外積（Exterior Product）（楔積）。 張量積的構造通過其萬有性質被嚴格證明，並展示瞭它如何“最小化”地擴展瞭雙綫性映射。我們闡述瞭張量的秩（Rank）的概念及其計算的復雜性，這在微分幾何（如黎曼麯率張量）中至關重要。 楔積的引入使得我們可以談論有嚮體積的概念。我們利用楔積構建外代數（Exterior Algebra），並證明瞭它是自由結閤代數（Free Associative Algebra）在滿足反對稱關係下的商代數。通過Hodge對偶性和德拉姆上同調的代數前驅，我們展示瞭外代數如何成為微分幾何和拓撲學中分析幾何對象（如微分形式）的自然工具。 總結 《代數結構與空間變換：現代數學的視角》是一本麵嚮有誌於深入理解數學理論的讀者（包括高年級本科生、研究生以及希望鞏固基礎的研究人員）的教材。它著重於概念的嚴謹定義、內在的邏輯聯係以及從抽象代數到幾何應用的平滑過渡，旨在培養讀者運用代數思維解決復雜問題的能力。全書側重於“為什麼是這樣”，而非僅僅“如何計算”。

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這本書的裝幀和細節處理也體現齣一種對讀者的尊重。封皮的材質防滑耐磨，即便是經常翻閱也不會輕易留下難看的摺痕。內頁的字體選擇適中，行間距也處理得恰到好處，長時間閱讀眼睛不會感到疲勞，這對於需要長時間攻剋數學難題的學生來說，簡直是福音。更值得稱贊的是，書中的數學符號、公式的排版非常規範和專業，沒有齣現任何印刷錯誤或者格式混亂的情況，這在很多低成本的輔導材料中是難以保證的。這種嚴謹的齣版態度，也間接傳遞瞭一種信息：內容本身就是經過反復推敲和校對的。這種高質量的呈現，使得每次拿起它都像是在接觸一本嚴肅而可靠的學術工具書，而不是一本匆忙拼湊的復習資料。總而言之，從閱讀體驗到學習效果，這本書的整體品質都屬於上乘之作，強烈推薦給正在攻剋綫性代數的學習者。

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這本書的實用價值遠超齣瞭單純的“輔導”範疇，它更像是一位耐心的私人導師。我最欣賞的是它在理論聯係實際應用方麵的努力。綫性代數本身就帶有很強的工具屬性，但很多教材過於偏重純數學的嚴謹性，忽略瞭其在工程、計算機科學中的應用背景。這本書在這方麵做瞭很好的平衡。在講解矩陣對角化和相似變換時，它穿插瞭一些關於數據降維或者係統穩定性分析的簡短背景介紹，雖然不是深入的專業教程，但足以點醒讀者：學這些知識到底有什麼用？這種“知其所以然”的學習方式，極大地激發瞭我對後續章節的探索欲。我發現，當我把理論知識與具體的應用場景掛鈎後，記憶也會變得更加深刻和持久。對於那些目標不隻是通過考試，更想在後續專業學習中運用這門學科的學生來說，這種融入瞭應用視角的講解是極其寶貴的。

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坦率地說，市麵上優秀的綫性代數書籍不少，但能做到兼顧深入理解和高效應試的，屈指可數。這本輔導書的巧妙之處在於它對不同層次知識點的拿捏非常到位。對於基礎概念，它的闡述清晰簡潔，沒有冗餘的哲學思辨，直擊要害，確保讀者能快速建立起紮實的根基。而對於那些被公認為難啃的知識點，比如分塊矩陣的運算規律、最小二乘解的幾何意義，它會采用不同的講解策略，或利用類比，或采用多角度的剖析，力求做到“一題多解，一理多悟”。我個人對它設計的一係列“陷阱題”印象深刻，這些題目往往巧妙地結閤瞭幾個知識點的邊界情況，能讓人在解題過程中清晰地認識到自己理解上的盲區。這些精心設計的練習，遠比單純的題海戰術來得有效，它訓練的不是簡單的計算能力，而是邏輯判斷和知識整閤的能力。

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我必須得說，這本書的習題精解部分簡直是教科書級彆的典範。很多習題集要麼是答案過於簡略，要麼是解題步驟跳躍性太大，讓人看瞭等於沒看。但這本《輔導與習題精解》的每一道例題，無論是基礎鞏固還是拔高訓練，其解題過程都詳盡得令人發指，但絕不拖遝。它不僅給齣瞭最終答案，更重要的是，它細緻地展示瞭每一步推理的依據和所使用的定理名稱。更妙的是，對於那些容易齣錯的地方，作者還會用醒目的提示框標齣，比如在計算逆矩陣時，提醒我們注意矩陣可逆的條件，或者在求解特徵值時，強調特徵嚮量的非零性。這種“刨根問底”式的解析，真正做到瞭“授人以漁”。我過去常常因為一個步驟看不懂而卡殼很久，但用瞭這本書之後，我能清晰地追蹤作者的思路，學會瞭如何係統性地拆解和解決復雜的綫性代數問題。對於期末復習來說，光是梳理這些精解就能查漏補缺，效果非凡。

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這本書的排版和裝幀設計確實讓人眼前一亮，紙張的質感很棒，拿在手裏沉甸甸的，感覺很專業。我尤其欣賞它在章節劃分上的邏輯性，從最基礎的概念引入，到後麵的矩陣運算、行列式、特徵值與特徵嚮量等核心內容，過渡得非常自然流暢。很多教材在講解理論推導時常常顯得晦澀難懂，但這本輔導書在這方麵做得尤為齣色。它沒有直接堆砌公式，而是通過大量的圖示和直觀的解釋來幫助讀者理解背後的數學思想。比如講解嚮量空間的概念時，書中用空間幾何的例子來輔助說明，讓抽象的定義變得具體可行，這對我這個初次接觸綫性代數的學生來說，簡直是及時雨。而且，書中的例題選擇也很有代錶性，涵蓋瞭不同難度和不同側重點的題目，看完理論部分後立刻做配套的例題練習，能迅速鞏固學到的知識點，極大地增強瞭學習的信心。整體來看，這是一本非常注重閱讀體驗和學習效果的工具書。

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