群与代数表示引论

出版者:中国科学技术大学出版社

作者:冯克勤

页数:212

译者:章璞

出版时间:2006-3

价格:22.00元

装帧:平装

isbn号码:9787312018824

丛书系列:研究生教学用书

具体描述

本书介绍群与代数表示的基本理论与方法,侧重于有限群的常表示理论和有限维半单代数的表示理论。在强调线性代数方法的同时,也突出体现了群表示与代数表示的联系。

　　本书假定读者学过线性代数和近世代数。

　　本书可作为数学系研究生公共基础课教材和高年级本科生选修课教材，也可作为相关专业的参考书。

作者简介

冯克勤， 男， 1941年出生于天津宁河。曾任中国科学技术大学数学系教授，现为清华大学数学系教授。 师从华罗庚，专攻数论方向。

章璞，男，1962 年 6 月出生，安徽省金寨县人，主要从事代数学的教学和研究 。1991年7月在刘绍学教授指导下于北京师范大学获博士学位。曾任中国科学技术大学数学系教授，现为上海交通大学数学系教授，博士生导师。

李尚志，男，1947年6月出生于四川内江市，1970年7月在中国科学技术大学数学系本科生毕业，1982年5月在中国科学技术大学数学系获博士学位，是我国首批18名博士之一，导师曾肯成教授。1989年～2004年担任中国科学技术大学数学系教授，2004年至今任北京航空航天大学数学与系统科学学院教授，博士生导师。2003年被评为我国首批“高等学校教学名师”。自1980年以来一直从事代数学领域、特别是群论方向的科学研究。

目录信息

前言
符号说明
第1章 群表示的基本概念
§1 定义和例子
§2 子表示、商表示、表示的同态
§3 表示的常用构造法
§4 不可约表示与完全可约表示
§5 Maschke 定理
§6 表示的不可约分解
*§7 举例确定不可约表示
第2章 特征标理论
§1 特征标的基本概念
§2 特征标的正交关系
§3 分裂域上不可约常表示的个数
§4 特征标表计算举例
§5 从特征标表读群的结构
§6 整性定理与不可约复表示的维数
§7 Burnside 可解性定理
第3章 代数的表示
§1 域上代数
§2 代数上的范畴
§3 Jordan-Holder 定理
§4 Wedderburn-Artin 定理
§5 代数与模的 Jacobson 根
§6 Krull-Schmit-Remak 定理
§7 投射模与内射模
§8 模在代数上的张量积
*§9 绝对单模与分裂域
*§10应用：常表示的不可约特征标
§11Frobenius 代数和对称代数
第4章 诱导表示与诱导特征标
§1 基本概念和性质
§2 模与类函数的 Frobenius 互反律
§3 Mackey 的子群定理
§4 诱导表示不可约的判定
§5 Clifford 定理
§6 Frobenius 群
*§7 单项表示与 M群
第5章 Artin 定理与 Brauer定理
§1 有理特征标的 Artin 定理
§2 Brauer 诱导定理
*§3 Green 定理： Brauer 定理的一个逆
*§4 Brauer 分裂域定理
*§5 不可约常表示的个数（一般情形）
第6章 紧群的表示
§1 紧群
§2 紧群上的不变积分
§3 紧群的线性表示
§4 不可约表示的矩阵元的正交关系
§5 Peter-Weyl 定理
§6 SU2与SO3的复表示
参考文献
汉英名词索引
· · · · · · (收起)

用户评价

这本书给我最深刻的印象是它对“结构”的关注。从群的结构（如正规子群、商群、单群）到表示的结构（如可约性、直和、张量积），再到更高级的李群和李代数的结构（如根系、 Weyl 群），作者始终围绕着“结构”这一核心概念展开论述。在讲解群论时，作者不仅仅罗列了各种定义，而是着重强调了这些定义如何帮助我们理解群的内在结构。例如，对正规子群的讨论，不仅仅是定义，更是说明了它如何能够形成商群，从而揭示群的“因式分解”能力。而在表示论部分，特征标理论更是将群的结构信息编码在代数对象中。我尤其喜欢它在处理群扩张（group extensions）部分时，引入的 cocycle 方法。这是一种非常巧妙的工具，能够帮助我们从已知的群构造出新的、更复杂的群。这本书让我认识到，数学研究的很多内容，都是在探索事物内部的规律和组织方式。它不仅仅是关于数字或公式，更是关于不同数学实体之间的关系和相互作用。这种对结构的深刻理解，也帮助我能够更灵活地运用所学的知识去解决问题，而不是死记硬背。

这本《群与代数表示引论》，让我对抽象代数的世界有了更加立体和深刻的认识。它在讲解群论基础的同时，并没有忽略代数表示这一重要的分支，而是将两者有机地结合起来，形成了一个完整的知识体系。作者对于半单群的表示理论的介绍，给我留下了深刻的印象。特别是关于权重、根系以及 Weyl 群的联系，虽然初看有些复杂，但作者通过具体的例子，比如 SU(2) 和 SU(3) 群的表示，将这些抽象概念具体化。我特别喜欢它在讲解 Weyl 群的作用时，那种对对称性的强调。Weyl 群不仅仅是某个特定群的对称性，它更是整个表示理论中一个普遍存在的结构。书中的图示和表格，对于理解这些高维几何对象和它们的表示非常有帮助。读到关于 Kac-Moody 代数表示的引言部分，我虽然没有完全消化，但已经能够感受到其背后蕴含的巨大潜力，以及它与 Lie 群、Lie 代数之间的紧密联系。作者在描述这些更高级的主题时，依然保持了清晰的逻辑和循序渐进的风格，这让我能够站在巨人的肩膀上，去窥视更广阔的数学领域。这本书不仅仅是介绍了一个理论框架，更是传递了一种数学思维方式——如何从具体的例子中提炼出普遍的规律，如何用抽象的语言描述复杂的现象，以及如何在不同的数学领域之间建立联系。

从这本书中，我获得的不仅仅是群论和代数表示的知识，更是一种严谨的数学推理能力。作者在论证过程中，始终保持着高度的逻辑性。每一个定理的提出，都有前置的定义和铺垫，每一个证明的步骤，都清晰可见，并且都有充分的依据。例如，在讲解 Sylow 定理时，作者首先介绍了子群的阶、群的阶，以及阶为素数幂的群的性质，然后才逐步引入 Sylow 子群的概念，并给出详细的证明。这种层层递进的叙事方式，让我能够跟随作者的思路，一步步地理解这些复杂的定理。在表示论部分，关于特征标的性质，如正交性关系，作者的证明也是非常严谨和富有启发性的。它让我明白，在数学中，每一个结论的背后，都有一套严密的逻辑支撑。这种能力，不仅仅适用于学习数学，在生活的其他方面，也同样重要。这本书就像是一个数学思维训练营，让我受益匪浅。

这本书给我最直观的感受就是它的“严谨”与“深度”。作者在讲解群的同态定理和同构定理时，每一步的逻辑推导都滴水不漏，让人无可挑剔。特别是对于第一同态定理的证明，作者给出了几种不同的视角，有的是从核和像的角度，有的是从陪集分解的角度，每一种都加深了我对这个重要定理的理解。它没有因为这些是基础定理而敷衍了事，而是细致地讲解了它们的证明过程和定理的含义，以及它们在整个群论体系中的地位。在代数表示部分，我对作者处理特征标（characters）的方式尤为赞赏。特征标不仅仅是一个代数工具，它更是群表示的“指纹”，能够提供关于表示的丰富信息。书中详细阐述了如何计算有限群的特征标，以及如何利用特征标来分解表示，判断表示的不可约性，甚至判断群本身的结构。我记得关于特征标的线性无关性定理，作者给出的证明非常巧妙，让我对特征标的性质有了更深的认识。读到关于 Induced Representations 的部分，感觉像打开了一个新的工具箱，通过诱导，我们可以从子群的表示构建出整个群的表示，这对于研究一些大型群的表示非常有帮助。这本书的深度，体现在它不仅仅是介绍了“是什么”，更是深入到了“为什么”和“如何”的层面，让读者能够真正理解背后的数学思想。

这本《群与代数表示引论》给我带来的最大收获，是对“不变性”这一数学概念的深入理解。无论是群论中的不变子群、不变陪集，还是表示论中的不变子空间、不可约表示，甚至李代数中的不变张量，书中都围绕着“不变性”展开论述。作者在讲解商群时，强调了正规子群的“不变性”，正是这种不变性使得商群的结构得以清晰地定义。而在表示论中，不可约表示的核心特征就是其子空间在群作用下保持不变，并且这种不变子空间是“极小的”，无法再进行分解。这种对不变性的深刻理解，贯穿了整本书的始终。它让我认识到，在许多数学和物理问题中，寻找那些在变换下保持不变的量，往往是解决问题的关键。作者在书中也提到了一些应用，比如在晶体学和量子力学中，对称性（即某种群的不变性）是如何指导我们理解物理现象的。这本书让我明白了，数学的强大之处，在于它能够提炼出不同领域中共同的数学思想，并将它们以抽象和普遍的方式表达出来。

这本书带给我的体验，与其说是一次学术的研习，不如说是一场智识的冒险。作者在介绍代数表示的部分，并没有仅仅停留在定义和基本定理的陈述上，而是巧妙地将群与向量空间、线性映射联系起来，构建了一个全新的视角。从最基础的表示定义，到不可约表示、完全可约表示，再到 characters 的概念，整个过程充满了逻辑的张力。作者通过大量的例子，比如对称群的表示，详细地展示了如何计算 character 表，以及 character 表如何揭示群的内在结构。我尤其欣赏书中关于 Schur 引理的阐述，它在代数表示理论中扮演着核心角色，而作者的处理方式，既严谨又不失趣味。它不仅仅是证明了什么，更是解释了为什么这个引理如此重要，以及它在后续理论发展中所起到的基础性作用。读到关于表示的直和与张量积的部分，我感觉自己仿佛掌握了构建更复杂表示的“魔法”。通过这些运算，我们可以从已知的表示中生成新的表示，这极大地拓展了我们理解群结构的能力。书中还涉及了一些有限群表示的经典结果，例如关于 character 的性质，以及如何利用 character 来判断群是否是单群。这些内容虽然略显挑战，但作者的引导让我们能够逐步理解其背后的深刻思想。这本书让我认识到，代数表示并非仅仅是为了研究群，它本身也是一种强大的工具，能够帮助我们理解其他数学对象，甚至在物理学等领域有着广泛的应用。

这本书给我的感觉就像是一位经验丰富的导游，带领我深入探索代数表示的奇妙世界。作者在引入表示理论时，并没有直接使用过于复杂的术语，而是从一个相对容易理解的起点——群作用在向量空间上——开始。他花了相当大的篇幅来解释为什么我们需要引入“表示”这个概念，以及它与群的内在结构有什么样的联系。我特别欣赏他在讲解 Clifford 代数和 Spin 群表示时，那种循序渐进的引导。虽然 Clifford 代数本身是一个比较特殊的结构，但作者通过它与 Spin 群的联系，以及 Spin 群在几何和物理学中的重要性，让我看到了代数表示的实际应用价值。书中的图示，特别是关于 Spin 群的一些几何解释，对我理解高维空间中的对称性非常有帮助。它不仅仅是提供理论框架，更是通过例子和应用，激发了我对这个领域的学习热情。读到关于表示的维度的计算，以及不可约表示的个数，这些内容让我对有限群的表示有了更具体的认识。这本书让我觉得，代数表示不仅仅是抽象的数学理论，它更是连接了代数、几何和物理等多个学科的桥梁。

这本书给我的整体感觉是“全面”与“深入”。它不仅涵盖了群论的基础知识，如群、子群、陪集、同态、同构等，还深入到代数表示的各个重要方面，包括不可约表示、特征标、诱导表示，以及一些关于李群和李代数的初步介绍。作者在讲解每一个主题时，都力求做到既全面又深入，没有遗漏关键的概念和定理。例如，在表示论中，他详细讨论了有限群的表示理论，并引入了一些关于无限群表示的初步概念。同时，他还触及了代数表示在几何和物理学中的应用，让我看到了这些抽象理论的实际价值。这本书的内容组织非常有条理，从基础到高级，层层递进，让读者能够在一个相对完整的框架下学习和理解知识。虽然书中包含了很多复杂的数学概念和证明，但作者的清晰的讲解和丰富的例子，使得这些内容变得易于理解。它是一本适合想要系统学习群论和代数表示的读者的优秀教材。

《群与代数表示引论》这本书，在我阅读过程中，始终给我一种“思维的拓展”感。作者在引入李群和李代数的概念时，并没有直接跳到复杂的公式，而是先从群的局部性质和生成元入手，逐步引导读者理解为什么我们需要李代数来研究光滑群。对李代数结构，特别是李括号的性质，作者给出了非常清晰的几何解释，比如它如何捕捉群在单位元附近的“方向”信息。接着，他自然而然地过渡到李代数的表示，尤其是伴随表示，以及它与群表示之间的联系。我特别喜欢书中关于完备可约表示的讨论，以及完备李代数和不可约李代数的分类。作者通过举例，比如 sl(2) 李代数，详细展示了它的表示理论，如何通过权重和权空间来刻画表示。这种从局部到整体，从群到代数，再到代数表示的逻辑递进，让我对整个数学框架有了更宏观的认识。它不仅是学习知识，更是一种思维方式的训练，教会我如何将抽象的数学对象进行分解、分析和重构。书中对于经典李群，如 GL(n), SL(n), O(n), SP(2n) 等的表示的介绍，虽然是初步的，但已经足够让我感受到这些重要数学对象的丰富性和它们的表示的优美性。

这本《群与代数表示引论》我读下来，首先最令我印象深刻的，是它那种循序渐进的教学方法。作者似乎完全站在初学者的角度，将那些原本可能让人望而却步的抽象概念，拆解成一个个易于理解的小步骤。开篇对群的定义和基本性质的阐述，就如同为我们打下了一个极其坚实的地基。各种例子，从简单的置换群到更复杂的群结构，都恰到好处地穿插其中，让理论不再是空中楼阁。尤其是对群作用的讲解，作者引入了诸如轨迹、稳定化子等概念，并清晰地展示了它们如何帮助我们理解群的结构。我个人比较喜欢它在讲解子群、陪集和拉格朗日定理时，那种严谨又不失灵活的论证方式，每一步推导都清晰可见，逻辑链条完整。它没有上来就堆砌复杂的定理和证明，而是先让读者通过直观的例子和简单的性质来建立对群的感性认识，然后再逐步深入到更精细的理论层面。这种“化繁为简”的叙事策略，对于我这种数学背景相对薄弱的读者来说，简直是福音。书中的习题也很有特色，它们往往不是纯粹的计算题，而是鼓励读者去思考概念之间的联系，去发现群论的普适性。我记得有一道题，要求证明某个有限群一定是阿贝尔群，在尝试了几种方法之后，我才恍然大悟，原来某个看似平凡的性质，在特定条件下竟然能导出如此重要的结论。这种“顿悟”的时刻，正是学习数学最美妙的部分。总而言之，这本书为我打开了群论世界的大门，让我对这个领域产生了浓厚的兴趣，并愿意继续深入探索。

数学系研究生或本科高年级用

味同嚼蜡

数学系研究生或本科高年级用

味同嚼蜡

读过前半部分，这不是本好书。。。