Problems in Algebraic Number Theory

出版者:Springer

作者:Jody Esmonde

页数:352

出版时间:2004-10

价格:USD 59.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387221823

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

具体描述

Asking how one does mathematical research is like asking how a composer creates a masterpiece. No one really knows. However, it is a recognized fact that problem solving plays an important role in training the mind of a researcher. It would not be an exaggeration to say that the ability to do mathematical research lies essentially asking "well-posed" questions. The approach taken by the authors in Problems in Algebraic Number Theory is based on the principle that questions focus and orient the mind. The book is a collection of about 500 problems in algebraic number theory, systematically arranged to reveal ideas and concepts in the evolution of the subject. While some problems are easy and straightforward, others are more difficult. For this new edition the authors added a chapter and revised several sections. The text is suitable for a first course in algebraic number theory with minimal supervision by the instructor. The exposition facilitates independent study, and students having taken a basic course in calculus, linear algebra, and abstract algebra will find these problems interesting and challenging. For the same reasons, it is ideal for non-specialists in acquiring a quick introduction to the subject.

用户评价

《Problems in Algebraic Number Theory》这本书，就像一位睿智的导师，用一道道精心设计的难题，引领我一步步深入代数数论的腹地。我被书中对数域分类的讨论深深吸引，尤其是关于实数域、复数域以及更一般的数域的性质和结构。书中许多习题都要求我运用抽象代数中的群论、环论和域论知识，来分析数域的性质，比如其类数、单位群的阶等。我记得有一道关于判断一个代数整数是否为单位的题目，书中引导我利用范数（norm）的概念来解决，这让我体会到，数学家们是如何巧妙地将几何直观的“大小”概念转化为代数运算的。这本书并非那种轻松愉快的读物，它需要你投入大量的时间和精力去思考，去钻研，去克服一个又一个困难。但是，正是这种挑战，才让我在克服之后，对数学的理解更加深刻，也更具信心。书中对整数的解析性质的讨论，例如与素数分布相关的黎曼猜想的背景介绍，虽然不是本书的核心内容，但也极大地拓宽了我的数学视野，让我看到了代数数论与其他数学分支的紧密联系。我经常在解决一道习题的过程中，不由自主地联想到其他相关的概念，这种联想能力在学习过程中至关重要。这本书的作者对代数数论的理解之深，以及他将如此复杂的理论以习题的形式呈现出来的能力，都让我感到由衷的敬佩。

《Problems in Algebraic Number Theory》这本书，在我看来是一部关于数学智慧的宝库。它通过一道道精心设计的习题，带领我深入探索代数数论的奥秘。我被书中关于数域的构造（construction of number fields）以及其基本性质的讨论深深吸引。这些概念虽然抽象，但书中通过具体的例子和计算，让我得以理解它们在解决数论问题中的强大作用。我尤其欣赏书中对丢番图方程（Diophantine equations）的引入，它将古老的数学难题与现代代数数论的工具联系起来，展现了数学的活力。我记得有一道关于寻找特定丢番图方程整数解的题目，书中提供的分析方法，例如利用模算术（modular arithmetic）和代数整数的因子分解，最终帮助我找到了问题的关键。这本书需要读者具备扎实的数学基础，并且愿意投入大量时间和精力去思考和钻研。我曾经在一道关于判断一个代数整数是否是某个数域的单位元（unit）的题目上卡了很久，书中对于如何利用范数（norm）和迹（trace）的概念来解决的提示，最终帮助我找到了突破口。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的培养。它鼓励我去质疑，去探索，去寻找隐藏在表象之下的数学规律。

《Problems in Algebraic Number Theory》这本书给我带来的体验，与其说是一本教材，不如说是一场思维的盛宴。作者精心挑选的题目，每一个都如同精心打磨的宝石，闪烁着智慧的光芒，同时又隐藏着挑战的锋芒。我印象最深刻的是书中关于算术几何的那些习题，它们将抽象的数论概念与几何直观相结合，打开了我对代数数论更广阔的视野。例如，在处理不定方程的整数解问题时，书中引入的代数数域的结构，以及狄利克雷单位定理的应用，让我第一次真正理解了“数”的本质不仅仅是数字本身，更是一种结构和关系的体现。书中对Galois理论的运用也让我印象深刻，通过分析域扩张的对称性来解决数论问题，这种方法的高效和优雅令人惊叹。我还记得有一次，我被一道关于二次域中理想分解的问题困扰了许久，书中提供的思路，关于如何利用局部化和粘合（localization and gluing）的思想来分析理想的结构，为我提供了全新的视角，最终我得以豁然开朗。这本书并非那种一蹴而就就能掌握的速成手册，它需要的是耐心、毅力和对数学的热爱。每一次的尝试，无论是成功还是失败，都让我对代数数论的理解更深一层。它鼓励我跳出舒适区，去探索那些未知的领域，去挑战那些看似不可能解决的问题。我特别喜欢书中对一些经典猜想的引入，它们让我看到了代数数论前沿的魅力，也激发了我对这些问题的强烈好奇心。这本书的排版和语言也十分清晰，虽然是英文原著，但作者的叙述逻辑严谨，用词精准，使得即使是复杂的概念也相对容易理解。

《Problems in Algebraic Number Theory》这本书，是我数学学习生涯中一次非常宝贵的经历。它以其严谨的逻辑和深邃的洞察力，展现了代数数论的无穷魅力。我被书中对整数环（rings of integers）的性质和结构的深入探讨所吸引，尤其是关于其唯一因子分解性质的讨论。书中提供了许多关于如何判断一个代数整数环是否具有唯一因子分解的判别方法，以及如何在不具有唯一因子分解的情况下，通过引入理想理论来解决问题。我特别喜欢书中关于二次域（quadratic fields）的习题，它们往往将抽象的数论概念与具体的计算相结合，让我能够直观地感受到这些概念的力量。我记得有一道关于判断一个数是否能在二次域中表示为两个元素的乘积的题目，书中引导我利用域的范数（norm）来解决，这让我深刻体会到，数学家们是如何巧妙地将抽象的代数结构转化为可操作的计算。这本书并非轻松的读物，它需要你投入大量的时间和精力去思考，去钻研，去克服一个又一个困难。但是，正是这种挑战，才让我在克服之后，对数学的理解更加深刻，也更具信心。我还会经常回顾书中一些我曾认为难以理解的段落，随着我知识的积累，现在再看，往往会有新的领悟。

《Problems in Algebraic Number Theory》这本书，是一次真正意义上的数学冒险。它不是那种让你轻松娱乐的读物，而是需要你全神贯注、投入心智去探索的旅程。书中对代数整数环中素因子分解的研究，是我印象最深刻的部分之一。它让我理解了，在抽象的代数整数环中，素因子分解的唯一性并不总是成立，而理想论正是解决这一问题的关键。我特别喜欢书中关于二次域（quadratic fields）的讨论，以及如何利用其特殊的性质来解决数论问题。书中对于如何构造二次域，以及如何分析其单位群和类群的习题，都极具启发性。我记得有一道关于判断一个数是否为二次域中的范数的题目，书中引导我利用二次互反律（quadratic reciprocity）来解决，这让我体会到不同数学分支之间的联系是如此紧密。这本书并非易事，它需要你具备一定的代数基础，并且愿意花费大量时间去思考和钻研。但是我相信，任何一个认真对待这本书的人，都能从中获得丰厚的回报。这本书也培养了我对数学的敬畏之心，我开始意识到，数学的世界是如此广阔和深邃，而我所了解的，仅仅是冰山一角。我还会经常翻阅书中那些我曾经认为难以理解的证明，随着我知识的增长，我发现自己能够从中获得新的理解和感悟。

《Problems in Algebraic Number Theory》这本书，是我在数学学习道路上遇到的一个重要的里程碑。它以其严谨的逻辑和深邃的洞察力，展现了代数数论的无穷魅力。我尤为欣赏书中对丢番图方程（Diophantine equations）的系统性讨论，这些古老的问题在代数数论的框架下，焕发出了新的生命力。书中提供的许多方法，例如利用代数整数环的性质、理想论以及伽罗瓦理论，都为解决这类问题提供了强大的工具。我曾花费数日时间，试图解决一个关于整数解的丢番图方程，书中对于如何分析方程的模（modulo）以及如何在数域中进行因子分解的提示，最终帮助我找到了问题的关键。这本书并非仅仅是技巧的堆砌，它更注重培养读者对数学问题的深刻理解和独立思考能力。每一次我能成功解答一道难题，我都能感受到自己数学思维的成长。书中对数论函数（arithmetic functions）的介绍，以及它们在数论中的作用，也让我大开眼界。我开始意识到，代数数论不仅仅是关于“数”，更是关于“数”的内在结构和规律。我常常会把书中出现的例子和定理联系起来，试图构建一个更完整的知识体系。这本书的难度不低，但它所带来的收获也是巨大的。它教会了我如何面对挑战，如何在困难中坚持，以及如何通过深入的思考获得数学的真谛。

《Problems in Algebraic Number Theory》这本书，为我打开了通往代数数论神秘世界的大门。我一直对数论的抽象和美感着迷，而这本书则将这种美感具象化为一道道挑战。书中对数域的构造和性质的分析，让我对“数”的认识有了质的飞跃。它不再是简单的数字，而是一种由特定公理和性质定义的结构。我特别喜欢书中关于类域论（Class Field Theory）的那些习题，尽管其内容十分抽象，但通过书中给出的具体例子和提示，我得以窥见这个庞大理论的精妙之处。例如，书中关于数域的类群（class group）的计算，让我体会到，即使在看似“简单”的数域中，也可能存在着复杂的结构。这本书需要耐心和毅力，你需要一遍又一遍地阅读，一遍又一遍地尝试。我曾经在一个关于复数域中单位群的结构问题上卡了很久，书中对于狄利克雷单位定理（Dirichlet's Unit Theorem）的详细阐述和应用，最终帮助我理解了这个问题。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的培养。它鼓励我去质疑，去探索，去寻找隐藏在表象之下的数学规律。我也会经常回顾书中那些我未能完全解决的问题，随着我知识的积累，我相信我总有一天会再次挑战它们，并最终征服它们。

《Problems in Algebraic Number Theory》这本书，在我眼中是一部关于数学智慧的宝库。它通过一道道精心设计的习题，带领我深入探索代数数论的奥秘。我被书中关于数域的扩张（field extensions）以及其伽罗瓦群（Galois groups）的讨论深深吸引。这些概念虽然抽象，但书中通过具体的例子和计算，让我得以理解它们在解决数论问题中的强大作用。我尤其欣赏书中对类域论（Class Field Theory）的介绍，它将数域的算术性质与其伽罗瓦群的结构联系起来，展现了数学的和谐与统一。我记得有一道关于分析特定数域的伽罗瓦群的题目，书中提供的计算方法和思路，让我得以一步步揭示其内在的对称性。这本书需要读者具备扎实的数学基础，并且愿意投入大量时间和精力去思考和钻研。我曾经在一道关于判断代数整数是否是某个数域的生成元的题目上卡了很久，书中对于如何利用范数和迹（trace）的概念来解决的提示，最终帮助我找到了突破口。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的培养。它鼓励我去质疑，去探索，去寻找隐藏在表象之下的数学规律。我还会经常回顾书中那些我未能完全解决的问题，随着我知识的积累，我相信我总有一天会再次挑战它们，并最终征服它们。

翻阅《Problems in Algebraic Number Theory》这本书，我仿佛走进了一个由抽象概念构建的奇妙世界。它不是那种让你轻松阅读的书，而是需要你投入思考，与问题进行一场场精彩的“对话”。我最喜欢的是书中对整数环和代数整数的概念的深入探讨。它让我理解了，为什么我们不能简单地将整数的性质直接推广到所有代数整数上，以及在推广过程中需要引入哪些新的工具和概念，比如理想理论。书中很多习题都巧妙地引导我认识到，在数论问题中，理解数的“结构”比单纯地计算数字本身更为重要。我曾经为一道关于高斯整数环中唯一因子分解的问题反复思索，书中提供的提示，关于如何利用模的性质来刻画这个环的特殊性，让我豁然开朗。此外，书中对椭圆曲线和复乘理论的触及，虽然只是点到为止，但也足以展现代数数论在现代密码学和数论研究中的重要地位。我非常欣赏作者在组织题目时的巧妙安排，它们并非孤立存在，而是相互关联，共同构建起对代数数论主题的全面考察。每一次解决一个难题，我都能感受到一种成就感，这种感觉来自于我对数学理解的提升，也来自于我对自身解决问题能力的肯定。这本书也培养了我严谨的数学思维，让我学会了如何将一个抽象的数学问题转化为可操作的步骤，并通过逻辑推理找到答案。我还会经常回顾书中一些我曾认为难以理解的段落，随着我知识的积累，现在再看，往往会有新的领悟。

这本书的书名是《Problems in Algebraic Number Theory》，这本书给我留下了非常深刻的印象，尽管我对其中许多内容还未完全消化，但它所展现的数学之美和深度，以及作者在组织和呈现这些难题方面的匠心独运，足以让我为之赞叹。我尤其欣赏书中那种循序渐进的引导方式，即使是那些看似棘手无比的问题，在经过作者的初步点拨后，也仿佛被披上了一层清晰的脉络，让我能够窥见解题的可能方向。书中涉及的代数数论概念，如理想、类群、单位群、模方程，以及更深层的域扩张和伽罗瓦理论的应用，都被巧妙地融入到一道道挑战性的习题中。我经常在解决一个问题时，发现它恰好触及了我对某个概念的理解盲点，而书中给出的提示又恰到好处地将我引向正确的思考路径。这本书不仅仅是习题的集合，更是一次深入探索代数数论世界的旅程。它鼓励我去思考，去尝试，去在失败中学习，最终在成功中获得极大的满足感。每一次翻开这本书，我都能感受到一股强大的学术气息扑面而来，仿佛置身于一个充满智慧与挑战的数学殿堂。我曾花了一个下午的时间，仅仅是尝试理解一个关于 Zeta 函数性质的问题，虽然最终未能完全解决，但那个过程本身就极具启发性。书中的一些证明技巧，比如利用模算术的性质，或者构造特定的代数结构来简化问题，都让我受益匪浅。总而言之，这是一本值得反复研读、细细品味的优秀教材，它不仅提升了我的数学技能，更激发了我对这个迷人领域的持久热情。

考前抱佛脚必备

没啥意思

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