高中数学精编综合训练

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出版时间:2001-4
价格:6.20元
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isbn号码:9787533825416
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具体描述

穿越迷雾,领略数学之美:深入浅出,融汇贯通的经典解析 书名:数学思维漫步:从基础概念到前沿探索 前言:构建知识的桥梁 在这个信息爆炸的时代,对知识的深度理解和灵活运用比以往任何时候都更为重要。数学,作为科学的语言和思维的基石,其重要性不言而喻。然而,许多学习者在面对抽象的数学概念和复杂的解题过程时,常常感到力不从心,仿佛置身于一片迷雾之中。本书的目的,正是要成为一座坚实的桥梁,连接基础知识与高阶思维,引导读者在数学的广阔天地中自信前行。 本书并非对既有教材的简单罗列或题海战术的堆砌,而是立足于对数学本质的深刻洞察,旨在培养读者的数学直觉、逻辑推理能力和解决实际问题的综合能力。我们相信,真正的数学学习不在于记住公式,而在于理解公式背后的原理,掌握灵活应对变化问题的思维模式。 第一部分:夯实根基——代数与函数世界的精微探究 本部分将带领读者重温并深化对代数核心概念的理解,这些概念是后续所有数学分支的坚实地基。 第一章:数的系统与结构重塑 我们从最基础的数系开始,但着眼点在于其内在的逻辑结构。实数域的完备性不再仅仅是一个定义,而是贯穿整个微积分和分析学的隐形支柱。本章深入探讨了有理数与无理数的本质区别,以及复数系统如何扩展了我们对“数”的认知疆界。我们将解析代数方程的解的性质,例如伽罗瓦理论的哲学思想——探讨哪些方程可以通过根式求解,哪些不能,从而揭示了代数美学中的局限与突破。重点在于,通过对数集扩张的内在驱动力分析,使读者理解数学概念的产生并非随意,而是源于对更广阔世界的数学表达需求。 第二章:函数的雕琢与变换 函数是描述变量间关系的强大工具。本书对函数的讨论超越了简单的图像描绘。我们详细剖析了初等函数的构造原理,如指数函数、对数函数和三角函数的定义域、值域、周期性、单调性及其几何意义。更重要的是,本章专注于函数变换的系统性研究——平移、伸缩、反射等操作如何系统性地改变函数的形态,以及反函数的存在性条件。我们将引入一些更具挑战性的函数族,例如狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯处处不连续函数(仅作概念介绍),以拓宽读者对“连续性”的理解边界。 第三章:数列的韵律与极限的哲学 数列是离散数学的起点。本章从等差、等比数列的简洁美感出发,逐步引入递推关系和特征方程的求解方法,展示了如何用代数工具处理动态变化。核心在于对“极限”概念的透彻理解。极限不仅仅是一个计算技巧,它代表了一种“无限逼近”的哲学思想。我们将通过严谨的 $epsilon-N$ 语言来阐释收敛与发散的本质区别,并通过数列的性质(如有界单调数列必收敛)来体会数学推理的严密性。 第二部分:空间的几何与变换——解析几何的视觉革命 解析几何是将代数语言与几何直观相结合的典范。本部分致力于提升读者对空间形态的感知能力。 第四章:平面几何的向量化 抛弃传统的“点乘”与“叉乘”的孤立理解,本章强调向量作为连接点的工具的本质。我们将研究向量在表示位移、角度和投影中的作用。重点分析向量在求解平面几何问题中的优势,例如利用向量共线、垂直的充要条件来简化三角形和四边形性质的判定,以及如何在坐标系中利用向量快速推导出各种几何关系。 第五章:二次曲线的统一描述 圆锥曲线(椭圆、抛物线、双曲线)是解析几何中最具魅力的主题之一。本书不仅教授如何根据标准方程识别它们,更深入探讨了它们的定义——点到焦点的距离关系。我们将探讨二次曲线的切线的求法,这为微积分中的切线概念做了铺垫。此外,本章还会介绍如何通过坐标系的旋转和位移,将一般二次曲线方程化为标准形式,理解变换对几何形态的内在影响。 第六章:三维空间的展开——直线与平面的代数表达 进入三维空间,需要更强大的工具。本章着重讲解空间直线的方向向量表示法和平面的一般方程。我们将详细解析点到平面的距离公式的几何推导过程,并深入研究两条直线、直线与平面的夹角问题。特别地,我们将介绍空间向量的外积在确定平面法向量中的关键作用,这是连接代数计算与三维空间定向的桥梁。 第三部分:动态世界的刻画——微积分的思维拓展 微积分是研究变化率和累积效应的数学科学,是连接静止与运动的关键。 第七章:导数的本质与应用——瞬时变化率的捕捉 导数的核心是“瞬时变化率”。本书将导数的引入与几何上的切线斜率、物理学上的瞬时速度紧密结合。我们不仅要熟练掌握基本的求导法则(链式法则的系统性应用),更要理解导数在函数极值、凹凸性分析中的作用。通过实际案例,如优化问题(最小化成本、最大化收益),展示导数如何成为解决实际工程和经济问题的利器。 第八章:积分——累积效应的精确计量 定积分是对连续量进行累加的数学表达。本章从黎曼和的极限概念出发,严谨地定义定积分。我们将系统梳理微积分基本定理,理解“求导与积分互为逆运算”的深刻含义。定积分的应用将涵盖求面积、体积,乃至利用变力做功的概念。对于不定积分,我们将着重解析换元积分法和分部积分法背后的逻辑思想,而非仅仅是机械的公式套用。 第九章:微分方程的初步涉猎 微分方程是描述系统演化规律的数学语言。本章作为导引,介绍最基础的一阶可分离变量微分方程。通过简单的增长与衰减模型(如细菌繁殖、放射性衰变),读者将直观感受微分方程如何模拟自然界和科学研究中的动态过程。 结语:数学的开放性与永恒魅力 本书力求以清晰的逻辑、丰富的示例和适度的深度,引导读者跨越数学学习中的障碍。数学的精髓在于其结构美、逻辑严谨性以及无与伦比的解释力。掌握了这些核心概念和思维方法,读者将不仅能应对眼前的挑战,更能为未来在任何需要严谨推理和抽象思考的领域打下坚实的基础,真正体会到数学思维所带来的思维解放与力量。

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用户评价

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这本书的排版设计也值得大书特书。在这个充斥着电子设备的时代,一本纸质书的阅读体验很大程度上取决于它的物理设计,而这本《精编综合训练》在这方面做得非常出色。纸张的质地厚实,墨水浓淡适中,长时间盯着看也不会觉得眼睛疲劳。更重要的是,它的版面布局极为合理,留白得当,使得每一道题目和对应的解析区域界限分明。我特别喜欢它在一些关键公式或定理旁设置的小提示框,这些提示框通常用不同的颜色或字体标注出来,起到了很好的视觉引导作用,让你在快速浏览时也不会错过那些容易被忽略的陷阱信息。而且,试题的行距和字号设置都非常舒适,这对于我这种需要反复对照题目和解析的人来说,极大地提高了学习效率,减少了因阅读不适而产生的烦躁感。可以说,在学习工具的选择上,这本教材在细节上体现出的专业性和对读者的体贴,是很多粗制滥造的教辅材料无法比拟的,它让枯燥的数学学习过程,变成了一种相对舒适的智力挑战。

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这本书简直是为我们这种数学基础薄弱,又想在高考中有所突破的学生量身定制的!我记得我刚拿到手的时候,看到厚厚的篇幅还有点心里打鼓,生怕又是那种只会堆砌难题,让人望而生畏的“劝退”宝典。但是翻开之后才发现,它真的不一样。编排的逻辑性特别强,从最基础的概念梳理开始,每一个知识点都配有详尽的解析,不像有些教辅,只给个简短的答案就完事了。特别是那些比较抽象的函数图像和空间几何部分,作者简直是把图形的动态变化都给“可视化”了,读起来非常直观。我印象最深的是关于导数应用的那几个章节,我以前总觉得导数那一块是座大山,但这本书通过非常贴合生活、又极具代表性的例题,把我一下子就给“带”进去了。更值得一提的是,它没有一味地追求“怪、难、偏”,大量的题目都是高考中反复出现的经典题型,只是在难度上做了细致的梯度划分,从基础巩固到拔高训练,每一步都踏得很稳。对于我这种需要扎实基础才能谈及提分的同学来说,这本教材提供的结构化学习路径,比那种零散的题海战术有效太多了。它就像一位非常有耐心的老教师,在你每一步学习的拐角处都准备好了清晰的指引。

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我用过好几本不同出版社的高中数学复习资料,但只有这本《精编综合训练》让我真正感受到了“综合”的含义,它不是简单地把代数、几何、概率放在一起,而是巧妙地进行了知识模块的融合与贯通。很多高难度的综合题,往往考察的是跨章节的知识点联结能力,而这本书的专题训练部分,就是专门针对这些“高跨度”的题目进行设计的。比如,它会设计专门的“函数与方程的交汇”主题练习,里面既有涉及三角函数的周期性,又有需要利用导数求最值的题目,通过这种方式,强迫我们去构建一个立体的知识网络,而不是孤立地看待每一个知识点。这种训练模式,彻底打破了我以往“学完一个章节就把它封存起来”的习惯。通过这套书的训练,我明显感觉到自己在面对复杂背景下的应用题时,思维的展开速度加快了,能够更迅速地从庞杂的文字描述中剥离出数学模型的核心要素。这本书真正做到了在“训练”的背后,隐藏着“建构体系”的深层目标,这对于想冲击顶尖名校的学生来说,是至关重要的能力提升。

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说实话,我一开始对这本书的“精编”二字持怀疑态度,毕竟市面上的“精编”太多了,很多都是把大量习题东拼西凑起来,名字起得好听,内容却十分混乱。然而,这本教材给我的感觉是“少而精,精且深”。它的选材非常考究,每一道例题和习题的选择都紧密围绕着高中数学的核心主干,避免了那些为了凑数量而强行加入的“水题”。我特别欣赏它在每个章节末尾设置的“错题分析与反思”板块,它不是简单地罗列错误答案,而是深入剖析了导致错误的原因,比如是概念理解偏差,还是运算失误,甚至是思维定势所致。这种引导式的反思过程,极大地帮助我建立了对自身知识盲区的清晰认知。我常常是做完一套练习后,对照着书本的反思区,重新梳理解题思路,这比单纯地订正一两个错题要有效率百倍。尤其是解析部分,那种层层递进的推导过程,逻辑链条清晰得让人拍案叫绝,几乎没有让你产生“跳步”或“不明觉厉”的感觉。这套书真正做到了把复杂问题简单化,把简单问题深入化,对于追求效率和深度的学习者来说,绝对是物超所值。

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作为一名文科生,数学对我来说一直是个心头大患,尤其是那些需要复杂几何推理和逻辑判断的题目,简直是噩梦。我原本以为这类综合训练册都会偏向理科生的思维模式,但这本书在处理一些涉及集合、数列和概率统计的部分时,展示出了极大的“人文关怀”。它的语言风格非常平实易懂,没有过多地使用晦涩难懂的数学术语去压制读者的信心。例如,在讲解排列组合时,作者引入了大量的实际生活场景,比如抽奖、分派任务,这些接地气的例子立刻拉近了我和抽象数学概念的距离。更让我惊喜的是,它并没有因此就降低对严谨性的要求,在保证通俗易懂的同时,对每一个公式的适用范围和推导背景都做了严谨的界定。我感觉这本书就像是一个非常耐心的辅导老师,他知道我害怕什么,然后用我能理解的方式,循序渐进地帮我跨越恐惧。对于基础薄弱,或者对数学有天然畏惧心理的同学,这本书的入门体验感绝对是市面上最好的之一,它真正做到了“授人以渔”,教会我们思考的框架,而不是死记硬背解题的套路。

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