Analysis I

出版者:Springer

作者:Terence Tao

页数:350

出版时间:2016-7

价格:$59.99

装帧:Paperback

isbn号码:9789811017889

具体描述

This is part one of a two-volume book on real analysis and is intended for senior undergraduate students of mathematics who have already been exposed to calculus. The emphasis is on rigour and foundations of analysis. Beginning with the construction of the number systems and set theory, the book discusses the basics of analysis (limits, series, continuity, differentiation, Riemann integration), through to power series, several variable calculus and Fourier analysis, and then finally the Lebesgue integral. These are almost entirely set in the concrete setting of the real line and Euclidean spaces, although there is some material on abstract metric and topological spaces. The book also has appendices on mathematical logic and the decimal system. The entire text (omitting some less central topics) can be taught in two quarters of 25-30 lectures each. The course material is deeply intertwined with the exercises, as it is intended that the student actively learn the material (and practice thinking and writing rigorously) by proving several of the key results in the theory.

作者简介

Terence "Terry" Chi-Shen Tao, FAA FRS, is an Australian mathematician. His areas of interests are in harmonic analysis, partial differential equations, algebraic combinatorics, arithmetic combinatorics, geometric combinatorics, compressed sensing and analytic number theory. As of 2015, he holds the James and Carol Collins chair in mathematics at the University of California, Los Angeles. Professor Tao is a co-recipient of the 2006 Fields Medal and the 2014 Breakthrough Prize in Mathematics. He maintains a personal mathematics blog, which has been described by Timothy Gowers as the undisputed king of all mathematics blogs ."

读后感

外甥在家刷题不陪我打游戏，感觉这小子学傻了，麻痹只能陪他刷。 看不到几页实在受不了那种一步一步的感觉，因个人思维问题和书的内容无关，可能是王老头做老师太久不该在翻书，无形中把严谨氛围带到书里。用来学习一般，用来温故才是良品。 编排上的问题导致少部分符号错误，...

看了这本书，你会发现作者非常重视最最基础的东西，我想这才是做数学应该有的态度。这本书的作者非常牛，牛人给我们榜样。而现在的人就是太浮躁，连最基本的东西都没搞清楚就开始研究偏微分方程了。这样你永远成不了大师。我希望我们都认真做好上面的每一道习题。  

【转自我自己的知乎答案： [https://www.zhihu.com/question/33001251/answer/73486102] 】 因为这是一本同时结合了： 极高的现代数学观点，但—— 极基础的数学手段 依照最朴实而严谨的逻辑 处理整个分析学体系的神书。 这是数学教科书写作的良心！ 其实，这样令人动容的场面...  

用户评价

这本书的叙事风格极其克制，几乎没有多余的抒情或励志性的文字，这对于寻求纯粹知识传递的读者来说，是一种享受。它更像是一位经验丰富的老教授，站在讲台上，用最经济的语言，将最核心的思想传递给你，不带一丝情感色彩，完全依赖数学本身的内在逻辑来吸引和说服你。我个人认为，这本书在“序列与级数”部分的讲解达到了极高的水准。作者似乎深谙如何处理无限求和带来的复杂性，他没有简单地堆砌收敛判别法，而是巧妙地将积分检验法放在一个更早的、更具直观性的位置进行介绍，随后再引入比值判别法和根值判别法。这种安排使得读者能够先从几何或面积的角度建立起对“无穷和的尺度”的初步概念，然后再去处理更抽象的代数判据。尤其值得称赞的是，作者在处理交错级数和绝对收敛性的对比时，措辞极为精妙，使得原本容易混淆的概念清晰地分离开来。阅读此书的过程，与其说是学习，不如说是一种思维模式的重塑，你必须学会用“无限”的视角去审视有限世界中的每一个量。

我花了整整一个周末的时间来啃这本书的第三章，主要集中在极限的概念及其严格定义上。坦白说，初次接触 $epsilon-delta$ 语言时，感觉就像是陷入了一个无休止的逻辑迷宫，每一步的推导都像是在进行一场高强度的智力搏击。但正是这种“搏击”，才让我体会到数学语言的精确性与力量感。这本书在处理连续性定义时，并没有采取那种快速略过的教学态度，而是用大量的篇幅来剖析各种病态函数的例子——那些在直觉上看似连续，但根据严格定义却不满足条件的“反例”。这种对边界情况的执着探索，让我深刻理解了在分析学中，直觉是多么具有欺骗性，而严谨的证明才是唯一的真理。每一次成功地构建出一个完整的 $epsilon-delta$ 链条，那种豁然开朗的感觉，远胜于解出一道复杂的代数题。它教会我的不仅仅是分析的技巧，更是一种对待问题审慎和不轻易满足的科学态度。这本书的习题设置也极具特色，前半部分的计算题旨在巩固基础运算，而后面三分之一的证明题则完全是智力挑战，它们往往需要你跳出书本上已经学过的所有模板，进行创造性的逻辑重组。

我是在备考某项高难度考试的背景下接触到这本教材的，当时急需一本能够快速提升理论深度的资料。《Analysis I》的优势在于其覆盖面的广度和深度都达到了一个令人敬佩的平衡点。它没有像某些专注于理论基础的著作那样，将篇幅过度集中于集合论的预备知识，而是开门见山地进入实数系统，把精力聚焦在微积分的理论支撑上。对于我个人而言，最受益匪浅的是关于一様连续性和紧致性概念的论述。书中通过对开覆盖的讨论，将拓扑学的思想非常自然地融入了基础分析之中，这使得我对函数在闭区间上的行为有了全新的认识。这种融会贯通的视角，使得原本在高中或初级微积分中被视为“理所当然”的性质，突然间拥有了坚实的理论后盾。每一次翻阅到关于紧集性质的证明时，我都能感受到作者对于数学结构之美的深刻洞察力，那是一种将复杂现象提炼为简洁公理的能力的展现。这本书的价值不在于它教了多少公式，而在于它培养了读者探究公式背后“为什么”的能力。

从使用体验的角度来看，这本书的装帧和纸张质量都非常优秀，这对于需要反复翻阅和在书页上做大量笔记的读者来说至关重要。这本书的内容编排，尤其是在微积分核心定理的证明部分，展现出一种近乎艺术化的严谨。例如，在证明均值定理（Mean Value Theorem）时，作者并未直接套用罗尔定理，而是通过构造一个辅助函数，将问题转化为更基础的零点问题，这一巧妙的构造过程本身就是一堂精彩的分析学示范课。这种“化繁为简，以简驭繁”的证明哲学贯穿始终。我注意到，与我过去读过的其他分析入门书相比，这本书对于反证法的运用频率更高，它似乎在鼓励读者去挑战那些看似必然的结论，从而逼迫自己建立起更牢固的逻辑防线。总而言之，这本书不是那种读完一遍就能完全掌握的“速成指南”，它更像是一个需要长期研磨的工具箱，每一次重新审视，都会因为自己心智的成熟而发现新的工具和新的用法，发现之前因理解力所限而错过的精妙之处。

这本《Analysis I》的封面设计得极为简洁，以一种近乎苛刻的黑白灰为主色调，传递出一种严肃而纯粹的数学氛围。当我第一次翻开它时，首先映入眼帘的是那密集的符号和严谨的逻辑推导，让人立刻意识到，这不是一本可以轻松阅读的普及读物，而是一部需要全神贯注投入心力的经典教材。书中的排版非常注重数学公式的清晰呈现，每一个定义、引理和定理都经过了精心布局，力求在视觉上传达出数学结构的美感。我特别欣赏作者在引入新概念时所采取的循序渐进的方式，虽然内容本身难度不低，但通过清晰的层级划分和详尽的步骤拆解，即便是面对那些初看起来令人望而生畏的抽象概念，也能找到一个可以着手理解的切入点。例如，在实数完备性这一核心章节的铺陈上，作者没有急于展示最终的完美结构，而是先回顾了有理数系统的局限性，再通过构造性的方法逐步逼近实数域的建立，这种叙事方式极大地增强了读者对“为什么需要这些工具”的内在认知，而非仅仅满足于“如何使用这些工具”的表层操作。对于那些致力于打下坚实分析学基础的理工科学生而言，这本书无疑提供了一个坚实的地基，它要求的不只是记住结论，更是要理解结论背后的逻辑根源。

陶的迷人不仅在其天才，更在慈悲。

内容基础了点。

陶的迷人不仅在其天才，更在慈悲。

看了前五章和附录，可能是这本书最有特色的地方，因为这种书真的很少有从头做起来构建自然数、整数、有理数和实数的。跟着陶哲轩就像真的一步一步把曾经那些习以为常的结论重新建构出来，不过也很累，要不断挑战自己的直觉。实数构建完了似乎可以暂时放下，估计微积分那一套弄起来和别人是差不多的，可以去看看别的书了。

Excellent exposition and very rigorous approach. 用这本书辅助实分析课程很有用，很多概念都说得很清楚。