实变函数论

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出版者:北京大学出版社
作者:周民强
出品人:
页数:333
译者:
出版时间:2016-10-1
价格:CNY 33.00
装帧:平装
isbn号码:9787301276471
丛书系列:21世纪数学规划教材·数学基础课系列
图书标签:
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具体描述

《拓扑学入门:空间、形变与连续性的奥秘》 内容简介 本书是一本面向数学专业本科生和研究生的拓扑学入门教材,旨在为读者建立坚实的拓扑学基础,理解其核心概念、基本工具以及在不同数学分支中的应用。拓扑学作为现代数学的重要基石之一,研究的是“空间”在连续形变下保持不变的性质,它提供了一种更抽象、更本质的视角来审视几何对象和数学结构。本书力求在严谨性与直观性之间取得平衡,引导读者逐步深入理解拓扑世界的奇妙与精妙。 第一章:集合论基础与预备知识 在正式进入拓扑学领域之前,本章将对读者进行必要的集合论知识回顾与巩固。我们将从最基础的集合、元素、子集、并集、交集、差集、补集等概念出发,逐步引入关系(等价关系、偏序关系)、函数(单射、满射、双射)等关键概念。特别地,我们将详细讨论一些在拓扑学中至关重要的集合论工具,例如: 笛卡尔积: 用于构建高维空间的基本方法。 幂集: 集合的集合,为点集拓扑中的开集和闭集概念奠定基础。 基数: 集合的“大小”度量,包括有限基数和无限基数(可数无穷、不可数无穷),这对于理解不同“大小”的空间至关重要。 证明技巧: 介绍数学证明中常用的方法,如直接证明、反证法、数学归纳法等,这对于理解和掌握拓扑学的抽象定义和定理至关重要。 本章的目的在于确保所有读者拥有一个共同的、扎实的集合论语言基础,为后续内容的学习扫清障碍。 第二章:点集拓扑入门:点、邻域与拓扑结构 本章是本书的核心起点,我们将正式引入拓扑学的基本语言——点集拓扑。我们将从最直观的“点”的概念出发,探讨如何在集合上定义“邻近”的概念,从而引入“邻域”和“开集”这两个拓扑学的基本构件。 邻域: 对点“附近”的精确数学描述,定义了点周围的一个区域。 开集: 拓扑学中最根本的结构,所有点都在其内部的集合。开集是拓扑学中定义连续性、连通性等性质的基石。我们将详细讨论开集的性质,例如空集和全集是开集,有限个开集的交集是开集,任意多个开集的并集是开集。 拓扑(Topology): 通过指定一个集合上的一族开集,我们就定义了一个拓扑结构。我们将学习如何从开集族定义拓扑,以及如何验证一个集合族是否构成一个合法的拓扑。 闭集: 开集的补集,同样具有重要的性质,如全集和空集是闭集,有限个闭集的交集是闭集,任意多个闭集的并集是闭集。 内点、外点、边界点: 基于开集和闭集的定义,我们将引入这些概念,它们帮助我们更精细地刻画集合的局部结构。 本章将通过大量例子,帮助读者理解抽象定义的直观含义,例如欧氏空间上的标准拓扑,离散拓扑,平凡拓扑等,并通过这些例子来体会不同拓扑结构所带来的性质差异。 第三章:拓扑空间的性质:度量空间、序列空间与构造 在建立了拓扑结构的基本框架后,本章将深入探讨拓扑空间的更多重要性质,并介绍一些常见的拓扑空间类型。 度量空间: 当一个集合上的距离函数(度量)能够诱导出一种拓扑时,我们称之为度量空间。我们将探讨度量如何定义邻域和开集,以及如何从度量空间出发构造拓扑。我们将重点关注欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准度量拓扑,并讨论其重要性质。 序列收敛: 在度量空间中,序列的收敛是定义点集收敛的自然方式。本章将讨论序列在一般拓扑空间中的收敛概念,并分析序列收敛与开集定义下的收敛之间的关系,尤其是在某些特殊的拓扑空间(如第一可数空间)中的等价性。 闭包、核、内部: 引入这些重要的集合运算,它们可以用来刻画一个集合的“稠密性”和“扩展性”,在分析数学结构时非常有用。 拓扑空间的构造: 除了直接定义开集族,我们还可以通过其他方式构造新的拓扑空间,例如: 子空间拓扑: 从一个已有的拓扑空间中选取一个子集,并在此子集上定义一个“诱导”的拓扑。 乘积拓扑: 将多个拓扑空间“组合”起来,形成一个更高维度的拓扑空间。我们将重点介绍有限乘积和无限乘积拓扑的定义及其性质。 第四章:连续性与同胚:变换的本质 拓扑学研究的是在连续形变下不变的性质,因此“连续性”是拓扑学最核心的概念之一。本章将深入探讨连续性的定义、性质以及它在拓扑空间之间的联系。 连续函数: 基于开集和闭集的定义,我们将给出连续函数的严谨定义。一个函数是连续的,当且仅当它的逆像(preimage)将开集映射为开集。我们将讨论连续函数的性质,如复合函数的连续性。 同胚(Homeomorphism): 同胚是拓扑学中最强大的概念之一,它定义了两个拓扑空间之间的“拓扑等价”。如果两个空间之间存在一个连续的、并且其逆映射也是连续的 bijection,那么这两个空间就是同胚的。同胚的意义在于,具有同胚关系的两个空间在拓扑意义上是“相同”的,它们会共享所有的拓扑性质。我们将通过例子说明哪些空间是同胚的,哪些不是,例如一个杯子和一个甜甜圈是同胚的,而一个球体和一个环面则不是。 同胚不变量: 那些在同胚变换下保持不变的拓扑性质称为同胚不变量。理解同胚不变量是区分不同拓扑空间的关键。本书将初步介绍一些重要的同胚不变量,如连通性、紧致性等。 第五章:分离公理:刻画空间的“好坏” 拓扑空间之间存在着各种各样的性质,其中“分离公理”刻画了空间中点和集合之间“可分离”的程度。这些公理在很大程度上决定了空间的“好坏”以及我们能在此空间上做多少有意义的数学工作。 T0, T1, T2(Hausdorff)空间: 我们将逐一介绍这些分离公理的定义,以及它们之间的蕴含关系。Hausdorff空间(T2空间)是最重要的一类空间,它要求任意两个不同的点都可以被不相交的开集所分离。许多重要的拓扑空间(如度量空间)都满足Hausdorff性质。 T3(Regular)和T4(Normal)空间: 这些更强的分离公理涉及点与闭集、闭集与闭集之间的分离,它们在分析函数的延拓、紧致性等问题中起着至关重要的作用。 第六章:连通性:空间的“连续性” 连通性是描述拓扑空间“整体性”或“无破损性”的一个重要拓扑性质。一个连通的空间是“一个整体”,无法将其分成两个不相交的非空开集。 连通空间与路径连通空间: 我们将定义连通空间,并引入更强的概念——路径连通空间,即空间中的任意两点之间都存在一条连续的“路径”相连。我们将探讨两者之间的关系,以及何时它们是等价的。 连通分量: 一个不连通的空间可以被分解成若干个极大的连通子空间,称为连通分量。 连通性的保持: 连通性是一个重要的同胚不变量,任何连续映射都会将连通空间映射到连通空间。 第七章:紧致性:一种“有限性”的泛化 紧致性是拓扑学中另一个极其重要的概念,它将有限集合的许多优良性质推广到了无限集合。一个紧致空间在某种意义上“像有限集一样好”。 开覆盖定义: 紧致性的核心定义是通过“开覆盖”来刻画的。一个空间是紧致的,如果它的任意一个开覆盖都存在有限个子覆盖。 紧致性的等价刻画: 我们将介绍紧致性在度量空间中的一些等价刻画,例如 Heine-Borel 定理,它表明欧氏空间中的闭有界集就是紧致集。 紧致性的性质: 紧致性是一个非常强的同胚不变量,连续映射会保持紧致性。我们将探讨紧致空间上的连续函数所具有的性质,例如在紧致空间上连续的函数必定是有界的,并且可以达到其最小值和最大值。 紧致空间的构造: 介绍乘积空间和子空间与紧致性的关系。 第八章:可数公理:空间的大小与构造 可数公理是描述拓扑空间“大小”或“结构复杂性”的一系列性质,它们在研究集合的构造和函数的性质时非常重要。 第一可数空间(Second Countable Space): 存在可数的局部基(即每个点都存在一个可数的邻域基)。度量空间都是第一可数的。 第二可数空间(First Countable Space): 存在可数的开集基(即整个空间的开集可以由一个可数的集合生成)。我们还将讨论可数基与可数稠密子集的关系。 第九章:同态与同伦:形变的更深层次探索 在前面章节的基础上,本章将进一步探讨更高级的拓扑概念,它们研究的是空间的“形变”和“连接性”的更深层结构。 同伦(Homotopy): 同伦概念研究的是两条连续路径或两个连续映射之间的“形变可能性”。如果两个映射可以通过连续形变相互转化,那么它们就是同伦的。 基本群(Fundamental Group): 基于同伦,我们将引入基本群的概念,它是研究空间“洞”或“环状结构”的重要代数不变量。基本群将拓扑空间中的几何信息转化为群论中的代数信息,是代数拓扑的核心工具。 附录:进阶主题预览 本书的附录将简要介绍一些更高级的拓扑学主题,为有兴趣的读者提供进一步学习的方向,例如: 流形(Manifolds): 局部上与欧氏空间相似的空间,是研究几何学和物理学的重要模型。 同调论(Homology Theory): 比基本群更强大的代数不变量,能够捕捉到更复杂的“洞”的结构。 泛函分析中的应用: 介绍拓扑学在Banach空间、Hilbert空间等泛函分析中的基础性作用。 总结 《拓扑学入门:空间、形变与连续性的奥秘》力求以清晰的逻辑、丰富的例子和适度的严谨性,带领读者走进奇妙的拓扑世界。通过对点集拓扑、连续性、同胚、连通性、紧致性以及分离公理等基本概念的深入学习,读者将能够理解拓扑学研究的核心问题,并为其在几何学、分析学、代数学等多个数学分支中的应用打下坚实基础。本书不仅是一本教材,更是一次对空间本质和连续性之美的探索之旅。

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读后感

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最近才明白,以我现在的水平,给任何数学书评分都是大逆不道的。大学才读了一年半,在数学系才学了半年,时常有一种数学门都未入的卑微感。 照理说,应当是学到后面,站在很高的角度来指点这本书,才是一个好的书评,但是料想我的数学路还很长,什么时候才有足够高的角度尚不可...  

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老师说:国内能上的了台面的书不多,北大出了一些。 嗯,这本书算是吧。 上课老师用的是郑维行的,上到后面,翻的更多的是周的这本。 只想有多些时间,埋头做些题。 嗯,很赞 TooChaos的评价

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总的体会吧 以下也仅是个人意见。 优点 1技巧极强 ,彰显了作者极佳的实分析功底。 2文字上没有晦涩的地方,容易一读到底。 3材料充足,各种层次的材料都有,还有注记,比较有引导性 4题多(不知道这是优点还是缺点,对待习题大家都各执一词,有人认为学数学必须做题,也有人...  

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刚学了几天,不过觉得讲的还是不错。一位学哥告诉我这是经典教材,那就视它为经典来学吧。 总之,实变这个东西还是很难的。  

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书中简单的回顾了实变函数论的历史,避免了许多数学教科书的硬伤(上来就将搬理论,不谈来历)。重要的定理都有详细的描述,动动脑筋都能明白。 比我想象的好。  

用户评价

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这本书的封面设计简直就是一场视觉盛宴,色彩的运用大胆而富有张力,但又不失学术书籍应有的严谨性。初次捧读时,那种厚重感和纸张的质感就让人心生敬畏。我本来对理论性极强的数学著作抱有抵触情绪,但这本书的排版却异常清晰,即使是复杂的公式和定理,也被巧妙地组织在清晰的逻辑框架中。阅读过程中,我发现作者在引导读者理解抽象概念时,并没有采用那种冰冷的说教方式,而是像一位经验丰富的导师,循序渐进地剖析问题的核心。特别是对于某些关键概念的引入,往往伴随着精妙的类比和历史背景的简述,这极大地激发了我的学习兴趣,让我从“不得不读”转变为“渴望探索”。虽然内容本身确实具有一定的深度,但作者在行文中的那种不急不躁,以及对细节的极致追求,使得整个阅读体验远超我预期的枯燥。这种对知识的敬畏和对读者的尊重,从每一个细节中都能感受到,是一本值得反复研读的佳作。

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这本书最令我感到惊喜的,是它对不同数学分支之间内在联系的挖掘。很多教科书倾向于将知识点割裂开来,各自为政,但这本书的视角显然更为宏大。作者在讲解某个特定领域时,总会时不时地抛出一个与其他看似不相关的数学领域之间的深刻联系点,这种“跨界对话”让我看到了数学知识的整体美感和统一性。例如,在讨论某个拓扑结构性质时,作者会引用到一些源自泛函分析的工具,并清晰地阐述了这种“借用”是如何极大地简化了证明过程。这种处理方式,不仅拓宽了我的知识视野,更重要的是,它教会了我一种更具包容性和探索性的研究态度——不被既有的学科边界所束缚。读完这本书后,我感觉自己看待数学问题的角度都变得更加开阔和灵活了,它提供的不仅仅是一套知识体系,更是一种看待世界和解决问题的哲学。

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这本书的叙述风格如同高山流水,一气呵成,逻辑链条的构建极其精妙,仿佛作者将一个庞大复杂的知识体系,用一根看不见的丝线,巧妙地串联起来,使得原本看似零散的知识点,最终汇聚成一片壮阔的图景。我尤其欣赏作者在论证过程中所展现出的那种洞察力,他总能在关键节点给出“画龙点睛”般的注释,这些注释往往不是简单的定义重述,而是对现有理论深层含义的挖掘和提炼。在阅读某些证明时,我常常会陷入沉思,试图预判下一步的推导,但作者总能以一种更优雅、更具启发性的方式给出解答,让人在恍然大悟之后,产生一种强烈的“原来如此”的震撼感。这种叙述的节奏感把握得恰到好处,既保证了学术的深度,又避免了过于晦涩的泥潭,让读者能够在保持专注的同时,持续获得心智上的满足感。这本书的价值,不仅仅在于它传授了知识,更在于它塑造了一种严谨而富有创造力的思维方式。

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坦白说,最初翻开这本书时,我有点担心自己无法完全跟上作者的思路,毕竟涉及的领域要求很高的预备知识。然而,作者在章节的衔接处理上展现了惊人的技巧。他似乎深谙读者的“知识盲区”,总是在开始一个新主题前,用几段言简意赅的文字,回顾并强化了先前学到的必要工具。这种“前瞻性回顾”的设计,极大地减轻了我的认知负担。比如在引入某个高级积分概念时,作者没有直接跳跃,而是巧妙地穿插了一个关于测度空间下函数逼近的简短回顾,瞬间就激活了我关于基础理论的记忆,使得后续的学习变得异常顺畅。这本书并非仅仅堆砌定理和证明,它更像是一部精心编排的“数学旅行指南”,作者既是讲解者,也是引路人,他清楚地知道哪些风景需要驻足细看,哪些地方可以略过,为读者规划出了一条最高效、最赏心悦目的学习路径。

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这本书的装帧和印刷质量令人赞叹,这对于一本需要频繁查阅和标记的学术书籍来说至关重要。纸张的厚度和光洁度处理得非常到位,墨迹清晰,即便是长时间在灯光下阅读,眼睛的疲劳感也明显低于阅读其他一些同类书籍。我习惯在书页空白处做大量的批注和推导草稿,这本书的页边距设计得非常合理,提供了充足的“思考空间”,这在许多设计保守的教材中是难以寻觅的。此外,书中的插图(如果涉及)和图形元素,虽然数量不多,但每一个都精准到位,它们并非是装饰品,而是不可或缺的几何直觉支撑点,帮助理解那些在纯符号世界中容易迷失的抽象概念。一本优秀的工具书,其物理载体的体验感绝不容忽视,而这本书在这方面所体现出的对细节的极致追求,无疑提升了它作为案头常备参考书的地位。

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假装

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北大出版的数学教材向来质量可以,周民强老先生的书好就好在可读性强,从历史上脉络展开,其测度理论发展过程也有助于理解和思维的训练。

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内容安排不错 就是略枯燥

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就是那种你明明可以搞懂的东西他就偏要用你不懂的话写出来。

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说实话这本书内容选的不错,但是写的有些,玄,

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