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出版者:Springer Verlag

作者:Aleksandrov, A. D.

出品人:

页数:539

译者:

出版时间:2005-3-1

价格:$129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540231585

丛书系列:Springer Monographs in Mathematics

图书标签:

Math
凸多面体
多面体
几何学
计算几何
优化
数学
离散几何
算法
理论
计算机图形学

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具体描述

Convex Polyhedra is one of the classics in geometry. There simply is no other book with so many of the aspects of the theory of 3-dimensional convex polyhedra in a comparable way, and in anywhere near its detail and completeness. It is the definitive source of the classical field of convex polyhedra and contains the available answers to the question of the data uniquely determining a convex polyhedron. This question concerns all data pertinent to a polyhedron, e.g. the lengths of edges, areas of faces, etc. This vital and clearly written book includes the basics of convex polyhedra and collects the most general existence theorems for convex polyhedra that are proved by a new and unified method. It is a wonderful source of ideas for students.

The English edition includes numerous comments as well as added material and a comprehensive bibliography by V.A. Zalgaller to bring the work up to date. Moreover, related papers by L.A.Shor and Yu.A.Volkov have been added as supplements to this book.

好的，这是一本关于《非凸多面体及其应用》的图书简介，内容涵盖了现代几何、拓扑学以及离散数学中的关键概念，旨在为读者提供一个深入、全面的视角，完全不涉及“凸多面体”这一主题。 --- 图书简介：《非凸多面体及其应用》引言：超越欧几里得的边界在数学的广阔领域中，我们常常被那些完美对称、边界清晰的结构所吸引。然而，当我们将目光投向那些形态复杂、结构内在矛盾的几何实体时，一个更为广阔、更具挑战性的领域便展现在我们眼前——非凸多面体。本书《非凸多面体及其应用》旨在系统地探索那些在欧几里得空间中表现出内部凹陷、自相交或具有复杂拓扑结构的几何对象。它不再满足于简单的欧拉公式所能描述的简单连通曲面，而是深入到更为抽象和复杂的形体，探究它们的内在属性、构造原理及其在现代科学与工程中的实际意义。本书面向具有扎实微积分和线性代数基础的读者，包括高年级本科生、研究生、研究人员以及对离散几何、计算拓扑学感兴趣的专业人士。我们期望通过严谨的数学论述和丰富的实例，构建起一座连接纯理论与应用实践的桥梁。第一部分：非凸性的基础与拓扑结构本部分致力于奠定理解非凸多面体的数学基础，重点关注那些传统凸性定义无法涵盖的结构。第一章：从欧几里得几何到广义多面体本章首先回顾了经典多面体的定义，随后引入了“非凸性”的精确数学描述，包括内点测试、分离超平面定理的失效情况，以及如何通过局部性质来判断全局的非凸性。我们将详细探讨星形多面体（Star Polyhedra）的概念，它们虽然具有明确的顶点、边和面，但其内部结构和边界关系远比凸体复杂。凹陷与反射：分析多面体内凹陷点（Reflex Vertices）的几何特征及其对邻域的影响。自相交多面体（Self-Intersecting Polyhedra）：引入复射影几何的视角，研究那些边或面在内部相交的多面体，例如星形正多面体（如小十二面体和大星形十二面体）的构造与欧拉示性数的修正。第二章：拓扑学工具箱非凸多面体的分类和分析高度依赖于拓扑学工具。本章将深入探讨如何使用拓扑不变量来区分这些复杂的几何体。广义欧拉示性数：探讨如何修正或推广欧拉公式 $chi = V - E + F$ 以适应具有洞穴、手柄或多重边界的非凸结构。我们将研究亏格（Genus）的概念如何影响多面体的拓扑分类。三角剖分与表面重建：讨论在离散数据集中如何对非凸表面进行鲁棒的三角剖分，确保三角网格的有效性和无奇异性。第二部分：构造、分类与对偶性本部分聚焦于非凸多面体的具体构造方法，以及如何通过对偶关系理解其内在联系。第三章：星形与深层构造详细考察那些通过“膨胀”或“星化”凸多面体而得到的结构。施莱格里构造（Schlegel Diagrams）的局限与扩展：讨论施莱格里图在表示自相交或非简单多面体时的局限性，并介绍如何使用投影和截面来理解其三维形态。韦尔斯定理（Wells' Theorem）与非凸密堆积：探索在空间填充问题中，非凸晶体结构和准晶体的几何模型。第四章：非凸对偶与拓扑映射对偶性是理解多面体结构的关键。然而，对于非凸体，对偶关系的定义需要更加精细。顶点-面映射的复杂性：深入分析非凸对偶中，顶点与面、边与边之间对应关系的非唯一性或多重性。环面多面体与多重连接：研究具有多个“洞”或“环”的非凸结构，并将其与环面拓扑联系起来。第三部分：非凸多面体在计算几何与物理中的应用本部分将理论知识应用于实际问题，展示非凸结构在现代科学中的核心作用。第五章：碰撞检测与可见性分析在计算机图形学和机器人学中，精确处理非凸体至关重要。非凸包的分解（Decomposition）：介绍如何将任意复杂的非凸网格分解为一组凸子集的并集（如凸分解），这是进行高效碰撞检测和物理模拟的前提。最小凸分解算法：探讨计算复杂性高但至关重要的算法，用于寻找最少数量的凸体来近似一个非凸形状。第六章：流体动力学与离散微分几何非凸表面在模拟物理现象中扮演着重要角色，尤其是在处理复杂边界条件时。边界元方法（BEM）中的非凸边界：讨论在求解拉普拉斯方程或纳维-斯托克斯方程时，非凸边界引起的奇异性处理和数值稳定性问题。离散曲率的计算：介绍如何针对非凸网格准确计算平均曲率和高斯曲率，这对于理解材料应力分布和表面能量至关重要。第七章：拓扑数据分析与高级建模持续同调（Persistent Homology）：将拓扑数据分析应用于点云数据，以识别和量化非凸结构中的“洞”和“空腔”，这在生物医学成像和材料科学中具有直接应用。可变形模型（Deformable Models）：探讨如何使用非凸形状作为基础模板来模拟生物组织（如细胞膜、蛋白质折叠）的复杂变形过程，强调结构的柔韧性和非刚性。结论：未来的探索方向《非凸多面体及其应用》的最后，我们将展望这一领域的前沿研究方向，包括更高维度的非凸结构、动力学非凸系统的稳定性分析，以及量子信息理论中可能出现的非凸几何表征。本书旨在为读者提供一个坚实的理论框架，激励他们去探索几何复杂性的深层奥秘。 ---