Problems and Solutions in Introductory and Advanced Matrix Calculus pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Steeb, Willi-Hans

出品人:

页数:239

译者:

出版时间:

价格:$ 91.53

装帧:HRD

isbn号码:9789812569165

丛书系列:

图书标签:

矩阵分析
矩阵微积分
线性代数
数学
高等数学
矩阵计算
问题求解
工程数学
数值分析
数学工具书

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具体描述

As an extensive collection of problems with detailed solutions in introductory and advanced matrix calculus, this self-contained book is ideal for both graduate and undergraduate mathematics students. The coverage includes systems of linear equations, linear differential equations, functions of matrices and the Kronecker product. Many of the problems are related to applications in areas such as group theory, Lie algebra theory and graph theory. Thus, physics and engineering students will also benefit from the book. Exercises for matrix-valued differential forms are also included.

好的，这是一本名为《Problems and Solutions in Introductory and Advanced Matrix Calculus》的图书的详细简介，内容聚焦于该领域的核心概念、技术和应用，但不会涉及任何与您提供的书名直接相关的内容。 --- 《矩阵演算：从基础到前沿的原理与应用精解》内容概述本书旨在为读者提供一个全面而深入的矩阵演算学习路径，覆盖了从初级线性代数基础到复杂高维分析前沿课题的全面理论框架与实践技巧。我们聚焦于矩阵代数在现代科学、工程计算以及数据分析中的核心作用，通过详尽的理论阐述、关键概念的剖析以及大量的实例和习题，构建起一座连接抽象数学理论与实际应用问题的坚实桥梁。本书的结构设计旨在满足不同层次读者的需求，从初步接触矩阵运算的学生到需要精进高级技巧的研究人员，都能从中找到适合自己的深度和广度。我们不满足于仅仅罗列公式，而是致力于揭示矩阵运算背后的几何直观、代数结构以及其在处理大规模信息时的内在效率。第一部分：线性代数基础与核心概念的巩固本部分是全书的基石，旨在确保读者对矩阵的基本运算、向量空间以及线性变换拥有扎实的理解。我们从最基本的矩阵加法、乘法、转置和迹（Trace）开始，细致地讲解了矩阵乘法的非交换性及其在复合变换中的意义。重点章节包括：向量空间与子空间：详细讨论了线性无关性、基（Basis）与维数（Dimension）的概念。我们通过具体的例子来区分行空间、列空间和零空间，并引入了秩-零化度定理，强调了矩阵的内在结构与解空间之间的深刻联系。线性方程组的求解：阐述了高斯消元法和LU分解的计算过程与稳定性。我们深入探讨了矩阵的可逆性条件，并解释了为什么奇异矩阵在数值计算中会带来挑战。行列式（Determinant）：不仅介绍了行列式的代数定义，更侧重于其几何解释——行列式作为尺度因子在体积和定向上的作用。我们推导了行列式的乘法性质及其在分析矩阵可逆性中的关键作用。第二部分：特征值、特征向量与相似性特征值理论是理解矩阵动力学和变换特性的核心。本部分将特征值与特征向量的求解过程系统化，并将其提升到抽象的相似性理论高度。特征分解（Eigen-Decomposition）：我们详尽分析了特征多项式、特征值和特征向量的计算方法，特别是对于高阶矩阵的处理。对角化（Diagonalization）：解释了矩阵可对角化的充要条件，以及对角化在简化矩阵幂运算和求解线性递推关系中的强大效能。矩阵函数与指数：引入了矩阵函数的概念，如矩阵指数 $e^A$，并讨论了其在求解常微分方程组中的应用，强调了Jordan标准型在处理不可对角化矩阵时的重要性。第三部分：矩阵分解的精要技术现代科学计算的效率在很大程度上依赖于有效的矩阵分解技术。本部分深入剖析了几种最常用且影响力最大的分解方法。 QR 分解：详细阐述了Gram-Schmidt正交化过程和Householder反射法在构建QR分解中的应用。我们特别关注QR分解在最小二乘问题求解和计算特征值方面的稳定性优势。 SVD（奇异值分解）：奇异值分解被视为矩阵分析中的“黄金标准”。我们不仅推导了SVD的代数构造，还深入探讨了其在数据压缩、主成分分析（PCA）以及伪逆矩阵计算中的核心地位。我们强调了SVD的几何意义：将任何线性变换分解为旋转、缩放和平移的组合。 Cholesky 分解：针对正定（Symmetric Positive Definite, SPD）矩阵，我们展示了Cholesky分解的高效性，及其在蒙特卡洛模拟和有限元方法中的关键作用。第四部分：高级矩阵演算与分析此部分面向需要处理更复杂、更高维度或非标准矩阵结构的读者，引入了更精细的分析工具。矩阵范数与收敛性：系统梳理了Frobenius范数、迹范数（Nuclear Norm）以及一致性范数（Induced Norms）。我们讨论了矩阵序列的收敛性，特别是对于迭代算法（如幂法和反幂法）收敛速度的分析。矩阵微积分初步：引入了矩阵对标量函数求导（雅可比矩阵）以及矩阵对矩阵的求导（Hessian/梯度）。这部分为读者理解优化算法（如梯度下降法）中涉及的梯度计算打下坚实基础。正定矩阵与二次型：深入探讨了二次型函数（Quadratic Forms）的性质，利用特征值理论建立了正定性、负定性以及鞍点的判据，这对于凸优化问题至关重要。第五部分：数值稳定性和计算考量理论的完美必须与实际计算的精确性相结合。本部分关注矩阵运算在计算机上的实现问题。误差分析：讨论了浮点运算带来的舍入误差，以及算法的条件数（Condition Number）如何量化输入数据微小变化对输出结果的敏感程度。我们区分了病态（ill-conditioned）和良态（well-conditioned）问题。迭代法基础：介绍了求解大规模稀疏线性系统的迭代方法，如雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代，并分析了它们的收敛区域。面向读者本书是为以下读者量身定制的： 1. 高等数学和线性代数课程的学生：作为教材的补充读物或高级选修课的参考资料。 2. 工程与物理学研究人员：需要掌握矩阵方法来解决控制论、信号处理或结构分析中的复杂模型。 3. 数据科学家与机器学习工程师：需要深入理解PCA、SVD在维度缩减和特征提取背后的数学原理。 4. 金融数学从业者：涉及期权定价和风险模型构建时，矩阵的稳定性和分解技术是必不可少的工具。通过对理论的严谨推导和对应用场景的细致描绘，本书力求让读者不仅“会用”矩阵，更能“理解”矩阵的内在力量与局限性。