具体描述
Based on lectures by a renowned educator, this book focuses on continuous groups, particularly in terms of applications in geometry and analysis. The author's unique perspectives are illustrated by numerous inventive geometric examples, many of which were inspired by footnotes among the work of Sophus Lie. 1971 edition.
连续群论：结构、应用与现代视角 书名：连续群论：结构、应用与现代视角 作者：[此处可填入作者姓名，例如：李明] 出版社：[此处可填入出版社名称，例如：科学出版社] 页数：[此处可填入页数，例如：680页] --- 内容简介 《连续群论：结构、应用与现代视角》是一部全面而深入的数学专著，旨在为读者提供一个关于连续群（Continuous Groups）的系统性、多维度理解。本书超越了对经典李群的纯粹代数或几何描述，着重于展示连续群作为描述物理世界、几何结构和复杂系统动态的核心数学工具的强大能力。全书结构严谨，内容涵盖了从基础拓扑概念到前沿研究方向的广泛领域，特别强调了群的表示论、微分几何结合以及在现代物理学中的具体应用。 本书的叙事线索旨在引导读者不仅掌握连续群的定义和性质，更重要的是理解它们是如何在不同的数学和物理背景下“工作”的。我们力求通过清晰的论证、精选的例证和大量的练习题，使高等院校的数学系、物理系研究生，以及相关领域的研究人员，能够将所学知识有效地转化为解决实际问题的能力。 第一部分：基础与拓扑背景 本书的开篇部分致力于建立理解连续群所需的坚实数学基础。我们首先回顾了流形（Manifolds）的拓扑性质，特别是光滑流形的概念，这是构造连续群的几何框架。随后，我们引入了拓扑群（Topological Groups）的概念，明确区分了其与一般群在连续性上的要求，并详细讨论了紧致性、连通性以及完备性（Completeness）对群结构的影响。 重点章节包括对李群（Lie Groups）的精确定义和基本例子（如 $ ext{GL}(n, mathbb{R})$ 和 $ ext{U}(n)$）的详尽分析。我们通过引入拓扑群的同态与同构，建立了初步的分类视角。此部分特别关注了局部性质，即在单位元附近的局部结构，为后续引入李代数做了关键的铺垫。对于初学者，我们提供了如何通过限制拓扑空间来理解全局结构（例如，在欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中观察群的局部行为）的详细指导。 第二部分：李代数与无穷小生成元 连续群的精髓往往体现在其“无穷小”的行为上，这便是李代数（Lie Algebras）的用武之地。本书将李代数视为群结构在单位元处的切空间，并详细阐述了指数映射（Exponential Map）如何从李代数“重建”群的局部结构。我们深入探讨了李代数的运算——李括号（Lie Bracket）的几何意义，它反映了群中两个生成元顺序操作的非交换性。 在这一部分，我们将分类引入经典李代数（$mathfrak{so}(n), mathfrak{sp}(2n), mathfrak{sl}(n)$）及其与对应经典李群的关系。代数的结构理论，包括根空间分解（Root Space Decomposition）、卡丹子代数（Cartan Subalgebras）和Weyl群，被系统地介绍和应用。我们强调了Killing 形式在判断李代数半纯性（Semisimplicity）中的核心作用，并利用此工具对特定类型的李代数进行严格分类。对于复杂的代数结构，我们引入了Dynkin 图作为强大的可视化和分类工具。 第三部分：群的表示论 表示论是连接抽象群结构与具体线性代数运算的桥梁，也是本书的理论核心之一。我们从表示的基本定义开始，引入了等变性（Equivariance）和不可约性（Irreducibility）的概念。对于连续群，特别是紧致李群，彼得-Weyl 定理（Peter-Weyl Theorem）的证明和应用占据了重要篇幅，它揭示了任何连续函数都可以被群的酉表示的矩阵元素均匀逼近的可能性。 本书特别关注李群的表示，它与李代数的表示之间存在着深刻的一一对应关系（在连通群的情形下）。我们详述了如何通过权重理论（Weight Theory）来完全确定一个有限维不可约表示的结构，这包括识别最高权重（Highest Weight）及其在Dynkin 标签下的对应。此部分包含大量计算实例，展示了如何利用表示论来计算群的特征标（Character），以及维格纳-费希纳定理在计算群的维度上的应用。 第四部分：微分几何与同调 为了更全面地理解连续群的拓扑和几何特性，本书将分析工具引入群的框架中。我们讨论了微分形式（Differential Forms）在群流形上的构造，并重点研究了左不变微分形式和哈尔测度（Haar Measure）。哈尔测度的存在性是紧致群（以及某些半简单群）具有良好分析性质的关键，我们对其测度性质和积分的几何意义进行了探讨。 此外，本书探讨了李群的纤维丛（Fiber Bundles）结构，以及联络（Connection）的概念如何从李代数导出。我们简要介绍了李群的同调理论（Lie Group Cohomology），特别是其在理解群扩张和外部代数（Exterior Algebra）中的应用，为读者提供了进入更高阶几何结构的入口。 第五部分：应用与前沿展望 本书的最后部分聚焦于连续群在现代科学中的实际应用，以展示其理论深度。 在理论物理学中，我们详细分析了庞加莱群（Poincaré Group）和洛伦兹群（Lorentz Group）的表示，它们是粒子物理学中描述基本粒子（如自旋和质量）不可或缺的工具。对于规范场论（Gauge Theories），我们探讨了规范群（如 $ ext{SU}(3) imes ext{SU}(2) imes ext{U}(1)$）如何通过纤维丛结构描述基本相互作用。 在几何学方面，我们讨论了齐性空间（Homogeneous Spaces）——即群作用下的陪集空间——的结构，这是现代几何学的核心研究对象之一。最后，本书对无限维李群（如Diffeomorphism Groups）的研究方向进行了概述，这些群在统计力学和几何分析中正变得日益重要，为有志于深入研究的读者指明了方向。 --- 本书特点： 理论与计算并重： 确保代数分类（如半简单李代数）的严格性与表示论计算（如特征标公式）的实用性相结合。 清晰的层次结构： 从拓扑基础逐步推进到李代数结构，再到完备的表示论框架，逻辑清晰，适合自学与课堂教学。 丰富的实例： 大量使用 $ ext{SU}(2), ext{SU}(3)$ 等物理学中常见的群作为实例进行深入剖析。 现代视角： 不仅涵盖了经典李群理论，也融入了微分几何和现代物理中对这些结构的最新理解。
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