Complex Analysis

出版者:Springer Verlag

作者:Gamelin, T.W.

页数:496

出版时间:2001-5

价格:$ 67.74

装帧:Pap

isbn号码:9780387950693

具体描述

An introduction to complex analysis for students with some knowledge of complex numbers from high school. It contains sixteen chapters, the first eleven of which are aimed at an upper division undergraduate audience. The remaining five chapters are designed to complete the coverage of all background necessary for passing PhD qualifying exams in complex analysis. Topics studied include Julia sets and the Mandelbrot set, Dirichlet series and the prime number theorem, and the uniformization theorem for Riemann surfaces, with emphasis placed on the three geometries: spherical, euclidean, and hyperbolic. Throughout, exercises range from the very simple to the challenging. The book is based on lectures given by the author at several universities, including UCLA, Brown University, La Plata, Buenos Aires, and the Universidad Autonomo de Valencia, Spain.

用户评价

《Complex Analysis》这本书，仿佛是一位引路人，带领我穿越数学的迷宫，抵达智慧的殿堂。《Complex Analysis》在讲解“傅里叶级数和傅里叶变换”时，我被它在信号分析领域的强大威力深深吸引。虽然傅里叶分析本身是一个独立且庞大的领域，但复数分析为理解和推导傅里叶级数和傅里叶变换提供了坚实的基础。书中可能通过介绍复数形式的傅里叶级数，来展示如何将周期函数表示为一系列复指数函数的线性组合。复数形式的傅里叶级数，其系数的计算与复数积分紧密相关，而傅里叶变换则是将傅里叶级数推广到非周期函数。理解复数域中的卷积定理，对于理解傅里叶变换在信号系统中的应用至关重要。书中还可能探讨了复数分析在“图像处理”和“模式识别”中的一些应用。例如，利用复数变换来增强图像的边缘信息，或者利用复数特征来识别不同的模式。这些应用都建立在复数分析强大的数学框架之上，展示了抽象数学理论如何转化为解决实际问题的有力工具。

在翻阅《Complex Analysis》的过程中，我深切感受到了数学的抽象之美和严谨逻辑。《Complex Analysis》在介绍“圆周率π的计算”时，我被它的巧妙所折服。书中并没有直接给出计算π的公式，而是通过复数分析的工具，例如利用留数定理计算某个特定积分，而这个积分的结果最终能够导出π的值。这让我意识到，π不仅仅是一个简单的几何常数，它与复数分析的深层结构有着密不可分的联系。通过复数积分，我们可以以一种非常规的方式来逼近或计算π，这展示了复数分析在数学常数计算中的非凡能力。书中还探讨了“复数在数论中的应用”，这一点尤其令我感到惊喜。数论，一向以整数的性质研究为主，但复数分析的引入，为数论研究注入了新的活力。例如，解析数论中的许多重要结果，例如素数定理，就是利用了复数分析的工具来证明的。书中可能简要介绍了解析数论的基本思想，以及复数函数（例如黎曼 Zeta函数）在刻画素数分布中的作用。这种跨学科的应用，让我看到了数学的无边界性和统一性，也让我对复数分析的理论深度有了更深的认识。

这部《Complex Analysis》对我的数学视野产生了深远的影响。我花了大量时间反复研读关于“多复变函数”的入门章节。虽然书名是“Complex Analysis”，但它并没有局限于单复变函数，而是为进一步探索多复变函数的世界铺平了道路。多复变函数，顾名思义，就是自变量是复数向量的函数。与单复变函数相比，多复变函数的性质要复杂得多，但也更加丰富。书中引入了多复变函数的基本概念，例如复向量空间、多复变函数域、以及多复变函数的解析性。与单复变函数不同，多复变函数的解析性条件更加苛刻，它需要满足一个称为“多重柯西-黎曼方程”的系统。这本书简要地介绍了这些方程，并强调了它们在确定函数解析性方面的重要性。此外，书中还触及了多复变函数中的一些基本几何概念，例如多复变函数的“区域”以及它们的拓扑性质。理解这些区域的性质，对于研究多复变函数的积分和级数展开至关重要。虽然只是入门，但这本书让我窥见了多复变函数领域蕴含的巨大挑战和无限可能性，激发了我进一步学习的兴趣。

《Complex Analysis》这本书，如同一个智慧的宝库，每一次阅读都带来新的启发。我特别着迷于书中关于“复变函数与微分方程”的章节。复数分析的理论，在解决各种微分方程问题时，展现出了强大的实力。书中通过具体的例子，展示了如何利用复数分析的方法来求解一些常微分方程和偏微分方程。例如，利用留数定理来计算微分方程的特定解，或者利用共形映射将复杂的边界条件问题转化为更简单的区域上的问题。这一点尤其重要，因为许多实际的物理和工程问题都可以转化为求解微分方程，而复数分析提供了一套强大的解析工具，可以有效地应对这些挑战。书中还提到了复变函数在“积分变换”中的应用，例如拉普拉斯变换和傅里叶变换。这些变换在信号处理、控制理论等领域有着广泛的应用，而复数分析的理论基础，特别是关于解析函数和积分的性质，是理解和应用这些变换的关键。通过这本书，我看到了数学的不同分支之间是如何相互关联、相互促进的，也更加体会到复数分析的普适性和重要性。

这部《Complex Analysis》带给我的，不仅仅是知识的积累，更是一种思维方式的升华。我花了大量时间沉浸在书中关于“留数定理”的部分。留数定理堪称复数分析中最具实用价值的工具之一。它提供了一种计算特定类型复数积分的有效方法，而无需直接进行复杂的积分运算。书中对留数的定义，以及如何通过函数在孤立奇点附近的性质来计算留数，都讲解得十分清晰。特别是当函数存在极点时，计算留数的方法，以及这些留数如何与积分值直接关联，让我领略到了数学的简洁与高效。通过求解一些实际的积分问题，例如涉及三角函数和有理函数的积分，我亲身体验了留数定理的强大威力。它能够将原本棘手的积分问题，转化为求几个有限个点的留数之和的简单代数运算。这种方法的巧妙之处在于，它将积分的复杂性转移到了对函数奇点性质的分析上。此外，书中还探讨了共形映射的概念，这是一种保持角度的映射。共形映射在几何学、物理学（如流体力学和电磁场理论）中有着广泛的应用。理解共形映射如何将一个区域的形状和性质映射到另一个区域，对于解决一些复杂的边界值问题至关重要。书中通过一些典型的共形映射，例如莫比乌斯变换，以及它们如何将直线和圆映射为直线和圆，让我对复数在几何变换中的作用有了更深刻的认识。

这本书，名为《Complex Analysis》，在我拿到它的时候，就带着一种既期待又略微忐忑的心情。我一直对数学中的“复数”概念心怀好奇，总觉得它隐藏着一种超越实数世界的神秘逻辑。翻开这本书，厚实的纸张和严谨的排版，都预示着这是一场深入的探索。我首先被吸引的是它开篇对复数平面几何意义的详细阐述，它不仅仅是二维平面上的点，更是承载着旋转、缩放等丰富几何变换的舞台。作者通过一系列生动形象的例子，比如复数乘法如何对应于旋转和伸缩，以及复数加法如何对应于向量的平移，让我对复数有了直观的理解。这一点至关重要，因为对于许多初学者而言，抽象的代数运算往往难以与直观几何概念联系起来。书中对复变函数的引入，同样循序渐进，从基本的复数函数定义，到它们的极限和连续性，再到导数的概念，每一步都小心翼翼地构建起了完整的理论框架。我特别欣赏作者在讲解解析函数时，引入柯西-黎曼方程的过程，它不仅仅是一个公式，更是连接复数代数性质与几何性质的桥梁，展现了数学的内在和谐之美。读到这里，我感觉自己仿佛推开了一扇通往更广阔数学世界的大门，对接下来将要遇到的复数分析的各种奇妙性质充满了期待。这本书的设计，无疑为我打下了坚实的基础，让我能够带着清晰的思路，去迎接书中更为复杂的概念和定理。

这部《Complex Analysis》在我手中，仿佛是一本精心雕琢的艺术品，每一页都散发着严谨的学术气息，同时也蕴含着数学思维的独特魅力。我尤其被书中对“复数积分”的讲解深深吸引。它不同于实数积分那样仅仅是在数轴上的累积，复数积分是在复数平面上沿着一条路径进行的“线积分”。书中的例子，例如计算沿着单位圆的积分，以及理解柯西积分定理和柯西积分公式如何揭示了复变函数在简单连通区域内的深刻性质，让我印象深刻。柯西积分定理的强大之处在于，它能够告诉我们，如果一个函数在其定义域内是解析的，那么它沿着任意闭合路径的积分都为零。这就像是复数世界里的一种“守恒定律”，极大地简化了许多积分的计算。而柯西积分公式，则更进一步，它允许我们通过一个闭合路径上的积分来计算路径内部任意一点的函数值，这简直是神来之笔，将函数值与积分紧密联系起来，展现了复变函数光滑性的威力。书中对级数展开的论述，尤其是泰勒级数和洛朗级数，也同样精彩。泰勒级数将解析函数表示为幂级数的无穷和，而洛朗级数则进一步扩展了这个概念，允许在奇点附近展开函数。这些级数不仅是理论研究的工具，更是理解函数局部性质的强大武器。通过这些展开，我们可以清晰地看到函数的行为，尤其是在奇点附近，那些看似“麻烦”的点，在级数的作用下，也变得清晰可辨。

拿到《Complex Analysis》这本书，我的第一感觉是它充满了挑战，但同样也充满了诱惑。我花了相当一部分时间在理解“解析延拓”的概念上。解析延拓，简单来说，就是将一个复变函数从其原来的定义域，扩展到一个更大的定义域，同时保持其解析性。这个过程充满了数学的创造力，并且有着深刻的理论意义。书中通过一系列例子，例如将对数函数的定义域从一个分支扩展到整个复平面（通过引入多值性或者选择合适的分支），让我理解了解析延拓的精妙之处。它揭示了复变函数在保持解析性的前提下，其定义域的“自由度”是多么的受限，也展示了如何在有限的条件下，将函数的定义域进行最大程度的扩展。这一点在一些数学理论的研究中尤为重要，因为它能够统一不同定义的函数，或者在某些特殊区域表现良好的函数，推广到更广泛的领域。书中还深入探讨了“全纯函数”与“调和函数”之间的联系。调和函数在物理学中有重要的应用，例如在稳态热传导、静电势等问题中。而《Complex Analysis》中的一个关键结果是，解析函数的实部和虚部都是调和函数。反过来，任何调和函数都可以被视为某个解析函数的实部或虚部（在适当的条件下）。这种联系极大地拓宽了复数分析的应用范围，使得原本只属于复数领域的工具，能够有效地解决实数世界中的物理问题。

这部《Complex Analysis》在我手中，不仅仅是一本教科书，更像是一扇通往数学深处的窗户，让我窥见了其壮丽的景色。书中对“复数在量子力学中的作用”的介绍，让我看到了数学理论的超越性。量子力学，作为描述微观世界规律的物理学理论，其核心数学语言就是复数。波函数，是描述量子系统状态的基本概念，而波函数本身就是复数值的。书中可能简要介绍了复数在量子力学中的基本用法，例如复数作为算符的本征值，以及复数在描述量子叠加态中的作用。理解复数在量子力学中的角色，对于理解量子现象，例如量子隧穿效应、量子纠缠等，至关重要。书中还可能提及复数在“控制理论”中的应用，例如在分析系统的稳定性时，需要考察复数域中的极点和零点。这些应用都体现了复数分析作为一门强大的数学工具，其影响早已超越了纯粹的数学领域，渗透到物理、工程、计算机科学等多个学科。这本书让我更加坚信，对数学的深入理解，是解决复杂问题的关键。

《Complex Analysis》这本书，如同一幅精密的数学蓝图，一点点地揭示着复数世界的奥秘。我尤其对其中关于“黎曼球面”的讨论感到惊叹。黎曼球面不仅仅是一个几何概念，它更是将复数平面与无穷远点巧妙地融合在一起的数学模型。通过引入一个无穷远点，我们可以将原本在复数平面上“跑偏”的函数，比如在无穷远处发散的函数，以一种优雅的方式纳入分析的范畴。书中对球极投影的详细讲解，将复数平面上的点与球面上的点一一对应，让我对这个高维度的空间有了直观的认识。黎曼球面上的函数，其行为可以用更统一的方式来描述。例如，函数在无穷远点的行为，可以通过考察其在黎曼球面上的局部行为来理解。这一点对于研究函数的全局性质，尤其是超越奇点的行为，至关重要。书中还探讨了“代数曲线”与复数分析的联系。虽然代数曲线在初等代数中就已经有所接触，但当我们将它们置于复数域中进行研究时，会展现出更为丰富的几何和拓扑性质。例如，复代数曲线上的函数，其奇点、分支点等结构，都可以通过复数分析的工具来揭示。理解这些结构，对于我们深入研究代数几何有着基础性的作用。这本书让我看到了数学不同分支之间意想不到的联系，也让我对数学的统一性有了更深的体会。

读了半本...

一位意大利数学家写的。很适合入门，例子很多。

一位意大利数学家写的。很适合入门，例子很多。

深入浅出，习题不错

读了半本...