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出版者:東北師大

作者:田祥高

出品人:

頁數:322

译者:

出版時間:2007-11

價格:15.80元

裝幀:

isbn號碼:9787560248998

叢書系列:

圖書標籤:

• 高中數學
• 必修3
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• 理科

現代高等代數基礎：理論、方法與應用 第一章 集閤與邏輯基礎 本章旨在為後續的抽象代數結構的學習奠定堅實的集閤論和數理邏輯基礎。我們首先從集閤的定義、基本運算（並、交、差、補集）及其性質入手，深入探討笛卡爾積與關係。重點分析等價關係與偏序關係，理解它們在結構劃分中的核心作用。隨後，引入函數（映射）的概念，詳細闡述單射、滿射和雙射的特性，並討論函數的復閤與反函數。在邏輯方麵，本章將詳細介紹命題演算，包括連接詞（與、或、非、蘊含、等價）的真值錶，以及量詞（全稱量詞 $forall$ 與存在量詞 $exists$）的引入。我們將探討證明的基本方法，如直接證明、反證法、數學歸納法，並引入集閤的基數概念，為後續的無窮性討論做鋪墊。 第二章 群論入門：代數結構的核心 群是抽象代數中最基本且最重要的代數結構。本章從二元運算的公理齣發，定義群的四個基本性質：封閉性、結閤律、單位元和逆元的存在性。我們隨後將討論群的若乾基本性質，例如單位元和逆元的存在性和唯一性，以及消去律。接著，引入子群的概念，並利用陪集（左陪集與右陪集）來研究群的內部結構。拉格朗日定理是本章的理論核心，它揭示瞭子群階數與群階數之間的關係。在此基礎上，我們將定義正規子群，並闡述商群（因子群）的構造，這是理解同態和同構的基礎。最後，本章將探討循環群的性質，並介紹二麵體群等實例，使抽象概念具象化。 第三章 環與域：拓展的運算體係 環是比群結構更豐富的代數結構，它具有兩個二元運算，通常稱為加法和乘法。本章詳細定義環的公理體係，包括加法構成阿貝爾群，乘法滿足結閤律，並滿足分配律。我們區分具有單位元的環（環）、積分域（整環）以及域（Field）。對環的性質進行深入探討，包括零因子、零除性。子環與環同態的概念被引入，特彆是核（Kernel）的性質。接著，我們將重點研究環中的理想（Ideal），它是加法下的特殊子群，對理解商環的構造至關重要。我們將定義主理想、主理想整環（PID）和唯一因子域（UFD），並介紹素理想與極大理想，這些概念為代數幾何和數論奠定瞭基礎。 第四章 綫性代數基礎：嚮量空間與變換 本章將視角轉嚮具有加法和標量乘法的代數結構——嚮量空間。我們首先定義域（自第三章引入）上的嚮量空間，明確嚮量、標量、嚮量加法和標量乘法的要求。子空間、生成集與綫性相關、綫性無關的概念被嚴格定義。基（Basis）與維數（Dimension）是理解嚮量空間結構的關鍵，我們將證明基的存在性和唯一性。綫性變換（或稱綫性映射）是連接不同嚮量空間的橋梁，本章詳細分析其性質，包括核空間與像空間的維度關係（秩-零化度定理）。最後，我們引入矩陣，闡述矩陣乘法如何錶示綫性變換，並討論矩陣的秩、逆矩陣以及矩陣的行列式，為後續的特徵值、特徵嚮量分析做準備。 第五章 模論初步：對嚮量空間的推廣 模（Module）是對嚮量空間的自然推廣，它允許標量域替換為一般的環。本章首先介紹模的定義，包括模的加法、標量乘法及其滿足的公理。我們將討論子模、模同態以及模的直和。與嚮量空間類似，本章也引入瞭模的基、自由模的概念，但需要強調，與嚮量空間不同，一般的模不一定有基。我們將討論模的循環生成性，並介紹撓（Torsion）模的概念。對於具有更強結構的環上的模，例如左R-模，我們將觸及射影模和內射模的初步概念，這對於理解更高級的同調代數至關重要。 第六章 域論：代數擴張的幾何視角 域論是連接代數與幾何的關鍵領域。本章從擴域（Field Extension）的概念齣發，定義擴張的次數 $[E:F]$。我們將深入探討代數擴張與超越擴張，並嚴格定義代數元。初等例子包括構造 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 和 $mathbb{Q}(i)$。本章的核心部分是伽羅瓦群（Galois Group）的引入。我們將定義伽羅瓦擴張、伽羅瓦群，並詳細闡述伽羅瓦基本定理，該定理建立瞭域的中間擴張與伽羅瓦群的子群之間的一一對應關係。這一對應關係使我們能夠利用群論工具來解決域論問題，例如證明五次及以上代數方程沒有通用的根式解（阿貝爾-魯菲尼定理）。 第七章 綫性代數進階：特徵值與規範形 本章迴歸到嚮量空間與綫性變換的內部結構分析。我們定義特徵值（Eigenvalue）和特徵嚮量（Eigenvector），並闡述如何通過求解特徵多項式 $det(A - lambda I) = 0$ 來確定它們。本章強調理解特徵值和特徵嚮量的幾何意義——它們是綫性變換作用下方嚮不發生改變的嚮量。我們討論對角化（Diagonalization）的條件：一個綫性變換是否可以被對角化，取決於其特徵多項式和最小多項式的根以及它們的重數。接著，我們將引入更一般的規範形，如若爾當標準型（Jordan Normal Form）和有理標準型（Rational Canonical Form），它們是任意綫性變換在特定基下的“最簡”錶示，對於求解微分方程組和處理非對角化矩陣至關重要。 第八章 交換環的結構與分解 本章專注於具有交換乘法的環的深入結構分析，重點研究整數環 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$ 上的結論。我們將重新審視主理想整環（PID）和唯一因子域（UFD），並引入諾特環（Noetherian Ring）的概念，其鏈條件是許多分解定理成立的前提。核心內容包括唯一分解的概念在這些環中的體現。對於多項式環 $F[x]$，我們將證明它是一個歐幾裏得整環，進而也是一個 PID 和 UFD，這直接導緻瞭多項式除法、最大公約式和多項式因式分解的唯一性。此外，本章將初步探討局部化（Localization）的概念，即通過“形式上”增加分母元素來構造新的環結構。 第九章 有限群的結構理論 本章將群論的知識應用於特定範圍——有限群。我們將復習拉格朗日定理，並引入共軛類、中心化子和正規化子的關係。Sylow定理是有限群結構理論的基石，它給齣瞭群中特定階的子群（Sylow p-子群）的存在性、個數和性質。我們將利用Sylow定理來判斷一個有限群是否為可解群，並分析一些特殊的可解群結構，如冪零群。通過對有限交換群（有限阿貝爾群）的結構定理的介紹，我們證明瞭任何有限阿貝爾群都可以分解為初等循環群的直和，從而完全揭示瞭有限阿貝爾群的分類。

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初拿到這本書的時候，我並沒有抱太大的期望，因為我一直對數學學習比較吃力。然而，翻開它之後，我驚喜地發現，這本書的語言風格非常輕鬆幽默，而且結構也很清晰。作者似乎非常瞭解高中生的學習習慣和睏惑，他用一種非常接地氣的方式來解釋那些看似高深的數學概念。例如，在講解排列組閤的時候，他不是簡單地給齣公式，而是通過一些生動有趣的場景，比如“如何安排座位”、“有多少種不同的搭配方式”等等，來引導我們去理解這些概念的本質。我特彆喜歡書中穿插的一些“數學小故事”和“生活中的數學謎題”，它們不僅調節瞭閱讀的枯燥感，還讓我們在玩樂中不知不覺地掌握瞭知識。我印象最深刻的是關於“邏輯推理”的那一部分，書中設計瞭一些小偵探遊戲，需要我們運用邏輯思維來找齣凶手，這讓我體會到瞭邏輯推理的樂趣和重要性。這本書讓我覺得，數學不再是一門需要死記硬背的科目，而是一門充滿智慧和趣味的學科。

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坦白說，我一直覺得數學是一門讓人頭疼的學科，各種符號和公式讓我望而生畏。但是，這本書的齣現，徹底改變瞭我的看法。它的編寫思路非常獨特，不像我之前接觸過的那些教材，上來就給你灌輸一大堆理論。這本書更像是和你一起在探索數學的奧秘。它會先提齣一些讓你思考的問題，然後逐步引導你去發現解決問題的方法。我尤其欣賞它在講解復雜概念時的耐心和細緻。比如，在講到“概率分布”的時候，書中並沒有直接給齣定義，而是從一些簡單的例子入手，慢慢引入方差、期望等概念，讓我在不知不覺中就理解瞭這些內容。書中的練習題設計得也非常巧妙，有的是鞏固基礎的，有的是拓展思維的，還有一些甚至帶有一些挑戰性，但做完之後會非常有成就感。我記得有一道題，是關於預測下一次考試成績的，需要用到一些統計學的方法，我花瞭很長時間纔解齣來，但那種豁然開朗的感覺，真的太棒瞭！

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這本書對我來說，簡直就像打開瞭一扇通往數學世界的新大門。以前我對數學的印象總是停留在枯燥的公式和難懂的定理上，總覺得它離生活很遠。但這本書完全顛覆瞭我的想法。它在講解概念的時候，總是能巧妙地結閤生活中的例子，比如用拋硬幣的概率來解釋隨機事件，用生活中的數據分析來講解統計。我最喜歡的是它循序漸進的講解方式，每一個新的知識點都是建立在前麵學過的基礎之上，不會讓人感到突兀。而且，書裏的插圖和圖錶也非常生動有趣，不像有些書那樣死闆，能幫助我更直觀地理解抽象的概念。我特彆記得其中一章講到函數的應用，書中列舉瞭不同行業對函數的需求，比如經濟學中的成本函數、物理學中的運動學公式等等，讓我第一次意識到數學原來在這麼多地方都有實際的應用價值。這本書不僅僅是知識的傳遞，更是一種思維方式的啓迪，它讓我開始用數學的眼光去看待周圍的世界，發現其中的規律和美妙。我甚至開始主動去思考一些數學問題，而不是被動地接受。

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這本書的排版和設計都非常用心，讓人在閱讀過程中倍感舒適。它不僅僅是一本知識的傳授者，更像是一位循循善誘的引路人。它在講解數學知識的時候，非常注重邏輯的嚴謹性，但同時又不會讓讀者感到枯燥乏味。我特彆喜歡它在每一章節的開頭都設置瞭“引入思考”環節，用一些引人入勝的問題來激發讀者的好奇心，然後層層遞進地揭示齣相關的數學概念。書中的“難點解析”和“易錯點提示”也非常實用，能夠幫助我們及時發現和糾正學習中的誤區。我印象深刻的是，在講解“不等式”的部分，書中通過一個優化生産成本的案例，讓我們深刻體會到不等式在實際應用中的重要性，這比單純背誦公式要來得更有意義。這本書讓我對數學學習的恐懼感大大降低，甚至開始享受解決數學問題的過程。

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我對這本書的評價，可以用“耳目一新”來形容。不同於我以往接觸的數學讀物，這本書更注重培養一種數學思維。它不會一味地追求知識點的覆蓋麵，而是深入淺齣地講解一些核心的概念，並強調如何運用這些概念去解決實際問題。書中的案例分析部分做得尤為齣色，它選取瞭許多貼近生活、貼近時代的例子，比如如何分析股票走勢、如何進行市場調研等等，讓我們看到瞭數學在現實世界中的強大力量。我尤其喜歡它關於“數據分析”的章節，它教會瞭我如何從看似雜亂的數據中提煉齣有用的信息，如何做齣更明智的決策。這本書的語言風格也非常吸引人，不像傳統的教材那樣嚴肅刻闆，而是更加活潑生動，充滿瞭人文關懷。讀這本書，感覺就像是在和一位經驗豐富的數學老師在交流，他既有深厚的學識，又不乏教學的智慧。

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