Geometries and Groups (Universitext) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer

作者:Viacheslav V. Nikulin

出品人:

頁數:268

译者:

出版時間:2002-06-21

價格:USD 99.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9783540152811

叢書系列:universitext

圖書標籤:

• 幾何
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• 2002
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好的，這是一本關於拓撲學基礎的教材簡介，內容側重於清晰的幾何直觀和嚴格的代數結構引入，旨在為初學者構建堅實的數學基礎。 --- 拓撲結構與連續形變：幾何直觀與代數嚴謹的橋梁 作者： [此處可填入虛構作者名，例如：A. R. Sinclair, J. M. Holloway] 齣版社： [此處可填入虛構齣版社名，例如：Mathematical Horizons Press] 頁數： 約 600 頁 目標讀者： 高年級本科生、研究生初期學生，以及希望係統學習拓撲學基礎的數學愛好者。 內容提要： 《拓撲結構與連續形變：幾何直觀與代數嚴謹的橋梁》（Topological Structures and Continuous Deformations: A Bridge Between Geometric Intuition and Algebraic Rigor）是一部為深入理解拓撲學核心概念而精心設計的教材。本書摒棄瞭傳統教材中過於抽象或過於依賴特定領域（如代數拓撲的特定分支）的敘述方式，而是緻力於在點集拓撲（或稱一般拓撲）和代數結構的引入之間架設一座堅實的橋梁。 本書的哲學是：拓撲學研究的是在連續形變下保持不變的性質。要掌握這一思想，讀者必須同時培養齣敏銳的幾何直覺和精確的代數工具箱。因此，本書的組織結構旨在確保每一個抽象定義都緊密關聯到其背後的空間直觀，而每一個直觀結論都最終被提升到嚴謹的數學證明層麵。 第一部分：空間與距離的重新定義 (The Reimagining of Space and Distance) 本部分為讀者打下堅實的基礎，從熟悉的歐幾裏得空間齣發，逐步抽象化“鄰近性”和“收斂性”的概念。 第 1 章：超越度量——拓撲空間的引入 我們從度量空間（Metric Spaces）開始，迴顧完備性、開閉球的概念。隨後，本書引入拓撲學的核心概念——拓撲結構。我們將拓撲定義為一組滿足特定公理的開集族，並詳細探討瞭開集、閉集、閉包、內部、邊界的定義及其相互關係。本章強調瞭基（Basis）和子基（Subbasis）的概念，展示瞭如何使用較少的集閤來生成整個拓撲結構，這對於後續構造特定的拓撲空間至關重要。 第 2 章：連續性與同胚的語言 拓撲學的核心是連續函數。本章利用開集定義連續性，並將其與微積分中的 $epsilon-delta$ 定義進行對比，闡明拓撲連續性的普適性。隨後，我們引入同胚（Homeomorphism），即“拓撲等價”的概念。通過大量二維和三維空間的例子（如咖啡杯與甜甜圈的類比），讀者將學習如何證明兩個空間在拓撲上是等價的或不可區分的。 第 3 章：收斂、緊緻性與分離性 本章深入探討拓撲空間中的極限理論。我們討論網（Nets）和過濾器（Filters）作為序列推廣的概念，它們是處理非度量空間中收斂性的關鍵工具。核心概念緊緻性（Compactness）被細緻分析，首先從有限開復蓋的角度引入，隨後利用 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）提供直觀錨點。本章還詳細討論瞭分離公理（如 $T_1, T_2$（豪斯多夫）、正則性 $T_3$ 和正規性 $T_4$），說明瞭這些性質如何限製瞭空間的“行為”——例如，在豪斯多夫空間中，極限是唯一的。 第二部分：構造性拓撲與空間操作 (Constructive Topology and Space Manipulation) 本部分關注如何從已知的拓撲空間構造齣新的、更復雜的空間，這是幾何對象組閤的數學基礎。 第 4 章：子空間、商空間與乘積空間 我們係統研究三種基本的構造方法： 1. 子空間拓撲 (Subspace Topology)：從父空間繼承結構。 2. 商空間拓撲 (Quotient Topology)：通過等價關係“粘閤”空間的不同部分。本節通過識彆正方形的邊來構造圓環和球麵，這是理解代數拓撲中商空間應用的關鍵一步。 3. 乘積空間拓撲 (Product Topology)：組閤多個空間的獨立結構，例如 $mathbb{R}^2$ 的構造。 第 5 章：連通性與路徑連通性 (Connectedness and Path Connectedness) 本章探討空間的“整體性”。連通性的定義及其與開集、閉集的深刻關係被詳細闡述。更重要的是，我們引入瞭路徑連通性，並通過證明路徑連通性蘊含連通性（在 $mathbb{R}^n$ 中）來鞏固幾何直覺。對於非路徑連通空間（如 Cantor 集），本書提供瞭具體的構造和分析。 第三部分：初步代數結構與不變量 (Preliminary Algebraic Structures and Invariants) 雖然本書的主體是點集拓撲，但為瞭預備代數拓撲，本部分引入瞭必要的代數工具，並首次探討瞭拓撲不變量的萌芽。 第 6 章：基本群（$pi_1$）的幾何前奏 本章作為通往代數拓撲的階梯，引入瞭路徑（Paths）和同倫（Homotopy）的概念。讀者將學習如何定義路徑的乘法和逆元，並理解同倫如何定義瞭一種更精細的等價關係——同倫等價。雖然本書不會深入討論群論的復雜細節，但它會詳細展示如何將路徑群（即 $pi_1$）的非平凡性作為區分拓撲空間（如圓盤與圓環）的強有力工具，特彆是通過考察其在 $mathbb{R}^3$ 中的可視化錶現。 第 7 章：構造性的拓撲不變量 本章總結瞭前幾章中發現的拓撲性質，將它們正式歸類為不變量（即在同胚下保持不變的性質）： 分離性和緊緻性（空間結構的內在屬性）。 維度（通過局部性質的討論）。 連通性（整體結構的保持）。 本書特色 1. 幾何驅動的定義： 每個抽象概念（如開集、緊緻性）都伴隨著詳細的圖形示例和直觀的類比，幫助讀者建立“感覺”。 2. 嚴格的證明體係： 證明清晰、邏輯嚴密，符閤現代數學的要求，為讀者順利過渡到更高級的代數拓撲或微分拓撲打下堅實基礎。 3. 豐富的練習集： 每章末尾設有分級練習，包括計算題、概念驗證題和具有挑戰性的構造性證明題，鼓勵讀者主動運用所學知識。 通過閱讀本書，讀者將不再僅僅將拓撲學視為一套抽象的公理係統，而是將其視為研究空間本質屬性、理解連續性極限的強大、統一的數學語言。

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坦白講，我最初買這本書是衝著它的名字——《Geometries and Groups》。我期待著看到清晰的圖示如何連接起彎麯空間和對稱群之間的美妙關係。然而，這本書給我的感覺更像是“關於幾何和群的嚴謹數學論述”，而不是一本“展示幾何與群之聯係”的視覺導覽手冊。前半部分關於基礎代數結構的鋪陳，顯得異常紮實，但對於初學者來說，可能會覺得節奏過於緩慢和抽象。很多時候，我需要藉助其他更具啓發性的輔助材料，纔能將書中的符號和概念與我腦海中模糊的幾何圖像對應起來。比如，當討論到龐加萊群的錶示理論時，書中的處理方式是完全基於特徵標和錶示空間的代數操作，對於習慣於通過坐標變換來理解幾何變換的我來說，這無疑是一次思維模式的徹底重構。這本書的價值在於它的深度和廣度，但它要求讀者自己去建立橋梁，它不會主動遞給你一座現成的、鋪著紅地毯的步行道。它是一把鑰匙，但打開哪扇門，取決於你如何去轉動它。

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這本《Geometries and Groups (Universitext)》的書，老實說，我讀得磕磕絆絆，但最終的收獲是實實在在的。它不是那種輕輕鬆鬆就能翻完的入門讀物，更像是一場精心設計的數學探險。一開始，麵對那些抽象的定義和復雜的定理，我差點就想把它束之高閣。特彆是關於群論的部分，那些對稱性的討論，初看之下覺得和我們日常經驗相去甚遠，完全是建立在純粹的邏輯推理之上。但是，作者的敘述方式，雖然嚴謹，卻又帶著一種古典的數學美感，讓人忍不住想去深究背後的聯係。那種感覺，就像是透過一層薄霧，逐漸看清瞭隱藏在數字和符號背後的精妙結構。書中的幾何部分，從歐幾裏得的直觀世界過渡到更抽象的拓撲和微分幾何的邊緣時，那種思維的跨越感尤其強烈，需要讀者投入極大的專注力去消化每一個論證步驟。如果隻是想瞭解一下名詞解釋，這本書絕對會讓你感到挫敗，但如果你真的想在代數和幾何的交匯點上建立起堅實的理解框架，那麼這份挑戰絕對值得接受。它迫使你重新審視你對“空間”和“變換”的固有認知，最終構建起一個更宏大、更統一的數學視野。

评分☆☆☆☆☆

拿到這本厚厚的書，我最大的感受就是它的“硬核”。它完全沒有迎閤現代教材那種為瞭取悅讀者而做的花哨排版或者大量的彩色插圖，一切都以內容為王，墨守成規地展示著最純粹的數學推導。這本書的章節組織邏輯清晰到近乎冷酷，每一步都建立在前一步的堅實基礎上，沒有絲毫的冗餘。我特彆欣賞它在處理代數拓撲和李群理論時的那種不妥協的態度。很多其他教材在這裏會選擇簡化或跳過關鍵的證明細節，但這本“Universitext”係列的書籍似乎秉持著一種“如果你想知道，那就必須看完整證明”的原則。這對於那些有誌於繼續深造，或者對理論細節有強迫癥的讀者來說，簡直是福音。我花瞭整整一個下午，試圖理解其中關於縴維叢的一個定理的推導，那過程簡直是一場智力的拉鋸戰，需要不斷地迴顧前麵關於嚮量場的章節。讀完後，雖然頭腦發脹，但那種對數學嚴謹性的敬畏感油然而生，感覺自己真正接觸到瞭數學大廈的鋼筋骨架，而不是錶麵光鮮的裝飾。

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如果要用一個詞來形容閱讀《Geometries and Groups (Universitext)》的體驗，那一定是“淬煉”。它不是一本旨在讓你輕鬆掌握知識的書，更像是一個篩選器，隻有那些真正熱愛並願意投入大量時間與抽象結構搏鬥的人纔能從中獲益良多。它的價值不在於提供瞭多少新穎的觀點，而在於它如何係統、完整地梳理瞭二十世紀數學中幾個核心領域的基礎邏輯結構。我尤其欣賞它對範疇論在幾何和群論中應用的早期引入，這為理解後來的現代數學框架打下瞭堅實的基礎。這本書的篇幅很可觀，但每一頁似乎都承載著重量級的數學信息，沒有一句閑話，沒有一個不必要的例子。對於一個已經學過基礎微積分和綫性代數，希望嚮更高階純數學進軍的研究生來說，這本書提供瞭一種近乎百科全書式的、自洽的知識體係。讀完它，你可能不會立刻能解決任何實際問題，但你的數學思維會變得更加堅韌和精確，這纔是其最大的饋贈。

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這本書的學術氣息非常濃厚，能明顯感覺到是為那些已經具備紮實分析和綫性代數基礎的讀者量身定做的。它的語言風格非常“歐洲化”，精準、剋製，且極度依賴於上下文的邏輯銜接。我發現，一旦錯過瞭某一個定義或者對某個引理的理解不夠透徹，接下來的好幾頁內容都會變成一堆難以辨認的文字符號。特彆是涉及到代數幾何和拓撲的交叉領域時，本書的嚴密性達到瞭令人發指的程度。例如，在討論流形上的張量和聯絡時，作者幾乎沒有提供任何直覺上的解釋，全是定義、引理、定理和證明的序列。這對於我這種更偏嚮於應用和直覺理解的讀者來說，無疑是一場漫長的“受苦”過程。但反過來說，這本書也因此成為瞭一份可靠的參考資料，因為它不會因為追求易讀性而犧牲任何一個數學細節。當你需要一個完全沒有歧義的、純粹的數學錶述時，翻開它，你總能找到最嚴謹的答案，盡管這個答案往往需要花費你數倍的精力去解碼。

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