Generalized Curvatures (Geometry and Computing)

作者:Morvan, Jean-Marie

页数:266

出版时间:2008

价格:$ 134.47

isbn号码:9783540737919

丛书系列:Geometry and Computing

具体描述

The intent of this book is to set the modern foundations of the theory of generalized curvature measures. This subject has a long history, beginning with J. Steiner (1850), H. Weyl (1939), H. Federer (1959), P. Wintgen (1982), and continues today with young and brilliant mathematicians. In the last decades, a renewal of interest in mathematics as well as computer science has arisen (finding new applications in computer graphics, medical imaging, computational geometry, visualization ).Following a historical and didactic approach, the book introduces the mathematical background of the subject, beginning with curves and surfaces, going on with convex subsets, smooth submanifolds, subsets of positive reach, polyhedra and triangulations, and ending with surface reconstruction. We focus on the theory of normal cycle, which allows to compute and approximate curvature measures of a large class of smooth or discrete objects of the Euclidean space. We give explicit computations when the object is a 2 or 3 dimensional polyhedron.This book can serve as a textbook to any mathematician or computer scientist, engineer or researcher who is interested in the theory of curvature measures.

用户评价

这本书最大的价值，或许在于它对“广义”二字的深刻诠释。它没有局限于传统的微分几何框架，而是大胆地将视角拓展到了更为广阔的度量空间、拓扑动力学甚至信息几何的边缘地带。我发现书中对各种非经典曲率的分类和统一处理框架，提供了一种极具洞察力的宏观视野。例如，它巧妙地将某些看似不相关的几何不变量统一在同一套张量框架下进行讨论，这种跨越不同学科壁垒的整合能力，令人叹服。对于一个长期在某一细分领域钻研的研究者而言，这种“抬高视角”的能力至关重要。它帮助我跳出了自己熟悉的公式和模型，看到了更深层的结构共性。这本书无疑是为那些已经拥有扎实几何基础，并渴望触及现代数学前沿的研究人员准备的“进阶指南”，它所提供的理论深度和广度，在当前出版的几何学专著中，几乎是独树一帜的。

我尝试用这本书来准备一次关于非线性系统的稳定性分析的研讨会，结果发现它的适用范围远远超出了我最初的预设。原本我以为它会像很多专业几何书籍一样，只关注纯粹的数学结构，但这本书中对“计算”的强调，远超预期。它不仅仅停留在理论的推导，更深入探讨了如何将这些抽象的曲率概念转化为可操作的算法模型。例如，在讨论广义平均曲率流（Generalized Mean Curvature Flows）的部分，作者非常详尽地阐述了离散化方法和数值稳定性问题，这对于工程背景或者应用数学的研究人员来说，是无价的财富。我甚至找到了关于如何用有限元方法处理边界条件下的非标准曲率定义的讨论，这在其他同类著作中是极其罕见的。这本书成功地搭建了一座连接纯粹理论与实际计算之间的坚固桥梁，使得那些看似遥不可及的几何洞察，具备了落地的可能。

从叙事的角度来看，这本书的行文风格透露着一种冷静、甚至略显冷峻的学者气质，这使得它在众多追求“平易近人”的教材中脱颖而出。它不像某些畅销的科普读物那样，试图用大量的类比和故事来软化核心内容。相反，它坚持数学的内在逻辑，要求读者必须保持高度的专注和批判性思维。我尤其欣赏作者在每章末尾设置的“深度思考题”——它们通常不是简单的练习，而是对本章核心思想的深刻挑战，往往需要读者结合不同的数学分支进行综合运用。这种教学策略培养的不是知识的被动接受，而是主动的知识构建能力。阅读过程中，我时常需要停下来，回顾前几章的内容，重新审视自己对某个定义的理解是否足够到位。这种“斗争”的过程，正是学习真正复杂数学体系所必需的磨砺，它确保了知识的沉淀，而不是浅尝辄止。

这本书，名字听起来就透着一股深邃和复杂，我拿到手的时候，光是翻阅目录就感觉像是在攀登一座数学的高峰。首先吸引我的是它对基本概念的构建方式，简直是教科书级别的严谨。它没有急于展示那些花哨的、令人眼花缭乱的结果，而是耐心地把每一步逻辑都铺陈开来，从最基础的微分几何概念出发，逐步引入更抽象的拓扑和代数结构。这种循序渐进的讲解方式，对于那些希望真正掌握几何学深层原理的读者来说，无疑是一剂强心针。尤其是关于黎曼几何和 Finsler 几何的部分，作者似乎有一种魔力，能把那些原本被认为晦涩难懂的张量分析和联络理论，用一种近乎诗意的语言描绘出来。我特别欣赏作者在引入新工具时，总是先给出直观的几何解释，然后再过渡到严格的数学形式，这极大地降低了初学者的门槛，同时也保证了内容的深度。可以说，这本书不只是工具书，更像是一位经验丰富的大师，手把手地引导你进入一个全新的思维世界。

这本书的排版和装帧质量，说实话，给我留下了极其深刻的印象。在这个数字时代，纸质书的质感变得愈发重要，而这本《Generalized Curvatures》在这方面做到了极致。纸张的厚度适中，光泽柔和，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。更值得称道的是那些数学公式的呈现方式。对于涉及高阶微分、曲率张量和指标运算的复杂表达式，出版商显然投入了巨大的精力去优化字体和间距。每一个希腊字母、每一个上下标都清晰可辨，逻辑结构一目了然。这对于一个需要反复核对公式细节的读者来说，简直是福音。在某些侧重于计算的章节，插图虽然不多，但关键的几何图形和坐标系示意图都绘制得极其精准，极大地辅助了空间想象力的构建。坦白讲，能把如此高度抽象的数学内容，以如此精美的物理载体呈现出来，体现了出版方对专业读者群体的尊重和用心良苦。

简明扼要

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