具体描述
图书简介：《现代代数基础：从群论到域论的构建》 作者： [此处可填写虚构的作者名，例如：李明] 出版社： [此处可填写虚构的出版社名，例如：格物致知出版社] --- 内容概述 《现代代数基础：从群论到域论的构建》旨在为读者提供一个严谨而深入的现代抽象代数系统的导论。本书聚焦于代数结构的核心概念——群、环和域，并以清晰的逻辑和丰富的实例，引导读者从具体的例子过渡到高度抽象的结构理论。本书的叙述风格力求平衡理论的深度与教学的可及性，特别强调结构之间的内在联系以及它们在解决传统数学问题中的作用。 本书共分为六个主要部分，共计十六章，结构安排如下： 第一部分：预备知识与集合论基础 (第1章 - 第2章) 在深入探讨代数结构之前，本书首先回顾了必要的集合论和逻辑推理基础。第1章详细介绍了集合运算、关系、函数以及良序原理。第2章则侧重于构建抽象代数所需的逻辑框架，包括同构、同态的概念，并引入了抽象代数研究的基本范式：结构、运算和公理。我们特别强调了构造性证明在代数研究中的重要性。 第二部分：群论的核心：对称性与周期性 (第3章 - 第6章) 本部分是全书的基石。第3章正式定义了群的结构，并引入了子群、陪集和拉格朗日定理，这是有限群结构分析的关键工具。第4章深入研究了特定的群结构，包括循环群、二面体群 ($D_n$) 和对称群 ($S_n$)，并通过这些例子展示了群在几何和置换中的应用。 第5章着重于群同态与同构，特别是第一同构定理（规范子群与商群的构造）。规范子群的引入为理解如何“简化”复杂群结构提供了代数手段。第6章则扩展到更高级的群论主题，包括群的直积、Cauchy定理和Sylow定理。Sylow定理的证明被详细分解，旨在展示如何利用素数幂阶子群来完全刻画有限群的结构。 第三部分：环论的拓展：从加法到乘法 (第7章 - 第10章) 进入环的范畴后，本书将研究结合了两种二元运算（加法和乘法）的代数结构。第7章定义了环、交换环、单位环，并区分了整环和除环。第8章引入了理想和商环的概念，这是环论中与群论中规范子群和商群相对应的核心构造。我们将重点阐述理想的生成性，特别是主理想。 第9章关注于特定的重要环结构，如欧几里得整环、主理想整环（PID）和唯一因子分解整环（UFD）。本书通过经典例子（如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$）来演示这些性质之间的层级关系。第10章则深入探讨了环论中的同态与同构，并推广了同构定理，探讨了多项式环的性质及其在构造域上的应用。 第四部分：域论入门：代数数与有理函数 (第11章 - 第13章) 本部分是本书最富吸引力的部分之一，它将代数结构的应用提升到了解析方程的层面。第11章集中讨论域的定义、特征以及常见的有限域 $mathbb{F}_p$ 和有理数域 $mathbb{Q}$。第12章是关于多项式域上的构造，重点讨论了不可约多项式、域的扩张（Extension Fields）的概念，并构造了有限域 $mathbb{F}_{p^n}$。 第13章引入了域扩张的关键工具：代数元素和超越元素。我们详细分析了伽罗瓦理论的先决条件，探讨了有限扩张的次数和基，并引入了极小多项式。虽然本书并未完全涵盖伽罗瓦理论的全部深度，但它为读者理解五次方程不可解性提供了必要的代数背景。 第五部分：模与向量空间（作为环与群的统一视角） (第14章) 第14章作为一个桥梁章节，探讨了模（Modules）的概念，即将向量空间推广到基于一个环的结构。通过模的视角，读者可以更清晰地看到向量空间（基于域的模）与一般环上的模之间的关系，从而深化对抽象结构统一性的理解。本章简要介绍了自由模、投影模等概念。 第六部分：结构分解与应用案例 (第15章 - 第16章) 最后两章将所学的理论应用于分解和结构识别。第15章着重于有限阿贝尔群的结构定理，即每个有限阿贝尔群都可以分解为初等因子群的直和，这是对拉格朗日定理和Sylow定理的最终综合应用。第16章则以一个具体的应用案例收尾，例如编码理论中的有限域应用，或者阐述代数在初等数论（如二次互反律的某些初步结论）中的隐性联系。 本书的特点 1. 强调构造性与证明的严谨性： 书中每一个核心定理（如同构定理、Sylow定理）都提供了详尽的、易于跟随的证明过程。 2. 丰富的示例与练习： 每一章节后附有大量的习题，从基础验证到开放式研究问题不等，确保读者能够将理论应用于实践。 3. 结构间的关联性： 本书始终致力于揭示群、环和域之间的内在联系，避免将它们视为孤立的研究领域。例如，通过类比规范子群和理想，读者能自然地理解商结构的代数意义。 4. 为进阶学习铺路： 本书的深度和广度使其成为学习拓扑学、表示论、以及高等代数（如伽罗瓦理论的完整论述）的理想预备教材。 目标读者： 本书适合数学专业本科生、对抽象代数有浓厚兴趣的理工科高年级学生，以及希望系统性回顾和深化代数基础知识的研究生。读者应具备微积分和基础线性代数知识。
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