具体描述
《经典群的几何与拓扑》 本书深入探讨了经典群（如 $ ext{GL}(n,mathbb{C}), ext{SL}(n,mathbb{C}), ext{O}(n), ext{Sp}(2n,mathbb{C})$ 等）在几何和拓扑学中的表现及其内在结构。我们从李群和李代数的经典定义出发，聚焦于这些特定群族的性质，而非更一般的半单纯李群的结构。 第一部分：经典群的线性表示与几何基础 本部分首先回顾了线性群的基础知识，包括矩阵群的拓扑性质和它们的李代数结构。我们详细分析了 $ ext{GL}(n,mathbb{C})$ 及其子群的指数映射、对数映射，以及如何利用指数映射连接李群与李代数。 我们花费大量篇幅讨论经典群的基本表示。对于 $ ext{GL}(n,mathbb{C})$，重点在于标准表示（$V = mathbb{C}^n$ 上的作用）及其张量积的分解。这部分内容是理解后续几何构造的基石。我们使用线性代数和张量分析的工具，系统地分解 $V^{otimes k}$ 上的作用，这与特征理论密切相关，但我们避免深入探讨更抽象的半单纯李群的根系理论。 接着，本书转向经典群的几何嵌入。我们考察这些群在射影空间 $mathbb{P}(mathbb{C}^n)$ 上的作用，特别是通过旗流形（Flag Manifolds）来刻画。旗流形 $G/B$（其中 $B$ 是一个极大伴随子群）是理解这些群的齐性空间结构的关键。我们详细构建了 $ ext{SL}(n,mathbb{C})$ 作用于旗流形的例子，展示了如何利用其上纤维丛和截面来研究群的表示的几何特性。 Schubert 细胞的构造及其组合性质是本部分的核心内容之一。 第二部分：正交、辛群的结构与二次型 本部分将焦点从复线性群转移到实正交群 $ ext{O}(n)$ 和辛群 $ ext{Sp}(2n,mathbb{R})$（或 $ ext{Sp}(2n,mathbb{C})$）。我们将这些群的结构与其所作用的二次型或辛形式紧密联系起来。 对于正交群 $ ext{O}(n)$，我们首先定义了标准二次型 $Q(x) = x_1^2 + dots + x_n^2$。我们分析了 $ ext{O}(n)$ 的连通分支，特别是特殊正交群 $ ext{SO}(n)$。关于 $ ext{SO}(n)$ 的表示，我们利用矩阵的对角化和正交分解，构建了其有限维表示的基底。例如，在低维情况下（如 $ ext{SO}(3)$），我们详细讨论了球面调和函数与这些群表示的关系，这在数学物理中有重要应用。 辛群 $ ext{Sp}(2n)$ 的结构依赖于一个非退化的反对称双线性形式 $omega$。我们详细阐述了 $ ext{Sp}(2n)$ 作为保持 $omega$ 不变的 $2n imes 2n$ 复矩阵群的定义。辛群的李代数 $mathfrak{sp}(2n)$ 的结构常通过其 Cartan 子代数的选择来研究。我们关注于如何将这些群表示嵌入到 $ ext{GL}(2n)$ 的表示中，特别是与凯莱变换相关的结构，但我们着重于直接构造其不可约表示，而非依赖于更普遍的分类理论。 第三部分：经典群的稠密子群与布洛赫分解 本书的后半部分探讨了经典群的代数结构，重点在于它们作为代数群的性质。我们利用了阿贝尔和布洛赫（Borel-Chevalley）分解的思想，来剖析抛物子群（Parabolic Subgroups）的结构。 我们定义了不同类型的抛物子群 $P$（例如，与标准旗流形相关的 $P_I$），并展示了如何利用它们来分解经典群，例如 $ ext{SL}(n)$ 的布洛赫分解 $G = B cup igcup_{w in W} BwB$，其中 $B$ 是一个上三角矩阵构成的玻雷尔子群。我们详细分析了 $B$ 及其极大理想 $N$ 的结构，并利用根空间分解来描述 $mathfrak{g}$ 中相应李代数的 Nilpotent 部分。 此外，本书讨论了经典群的对称空间结构。对于 $ ext{O}(n)$ 和 $ ext{Sp}(2n)$，它们与特定的欧几里得空间或辛空间上的等距变换有关。我们探讨了这些对称空间（如 Grassmann 流形）上的几何结构，以及由这些群诱导的测地线流。这部分内容侧重于微分几何的视角，即如何将群的代数结构转化为几何性质。 第四部分：经典群的表示理论与特征公式的解析 在对经典群的几何和代数结构进行考察后，我们回到表示论的核心问题：如何系统地构造和识别它们的不可约表示。 我们引入了韦伊（Weyl）秩公式的背景，但我们的重点是经典群的特定特征公式。例如，我们展示了如何利用行列式公式（如 Schur 多项式或 Gelfand-Tsetlin 模式）来计算特定表示的特征标，这些公式直接来源于对群作用于特定张量空间的分析。我们专注于利用对称群（对于 $ ext{GL}(n)$）或更复杂的 Weyl 群（对于所有经典群）的结构来组织这些特征标，但避免了对所有 Cartan 类型的全面分类。 本书最后讨论了经典群在特定数学物理模型（如热核展开、量子场论中的规范场论）中的具体应用，展示了对 $ ext{SU}(2)$ 和 $ ext{SU}(3)$ 表示的实际计算。 本书特色： 本书的叙述风格保持了严谨的数学推导，但强调了具体群（$ ext{GL}, ext{O}, ext{Sp}$）的直观几何意义和矩阵实现，力求为读者提供一个深入且不依赖于过于抽象的分类理论的经典群结构图景。全书侧重于矩阵群的具体性质、旗流形的构造以及相关二次型/辛形式下的不变性问题。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 onlinetoolsland.com All Rights Reserved. 本本书屋 版权所有