半單純李群李代數錶示論 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:上海科學技術齣版社

作者:嚴誌達

出品人:

頁數:194

译者:

出版時間:1963

價格:0

裝幀:21cm

isbn號碼:9780518093831

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 李群
• 李代數
• 錶示論
• 半單純李群
• 數學
• 高等代數
• 抽象代數
• 拓撲學
• 代數幾何
• 數學物理

《經典群的幾何與拓撲》 本書深入探討瞭經典群（如 $ ext{GL}(n,mathbb{C}), ext{SL}(n,mathbb{C}), ext{O}(n), ext{Sp}(2n,mathbb{C})$ 等）在幾何和拓撲學中的錶現及其內在結構。我們從李群和李代數的經典定義齣發，聚焦於這些特定群族的性質，而非更一般的半單純李群的結構。 第一部分：經典群的綫性錶示與幾何基礎 本部分首先迴顧瞭綫性群的基礎知識，包括矩陣群的拓撲性質和它們的李代數結構。我們詳細分析瞭 $ ext{GL}(n,mathbb{C})$ 及其子群的指數映射、對數映射，以及如何利用指數映射連接李群與李代數。 我們花費大量篇幅討論經典群的基本錶示。對於 $ ext{GL}(n,mathbb{C})$，重點在於標準錶示（$V = mathbb{C}^n$ 上的作用）及其張量積的分解。這部分內容是理解後續幾何構造的基石。我們使用綫性代數和張量分析的工具，係統地分解 $V^{otimes k}$ 上的作用，這與特徵理論密切相關，但我們避免深入探討更抽象的半單純李群的根係理論。 接著，本書轉嚮經典群的幾何嵌入。我們考察這些群在射影空間 $mathbb{P}(mathbb{C}^n)$ 上的作用，特彆是通過旗流形（Flag Manifolds）來刻畫。旗流形 $G/B$（其中 $B$ 是一個極大伴隨子群）是理解這些群的齊性空間結構的關鍵。我們詳細構建瞭 $ ext{SL}(n,mathbb{C})$ 作用於旗流形的例子，展示瞭如何利用其上縴維叢和截麵來研究群的錶示的幾何特性。 Schubert 細胞的構造及其組閤性質是本部分的核心內容之一。 第二部分：正交、辛群的結構與二次型 本部分將焦點從復綫性群轉移到實正交群 $ ext{O}(n)$ 和辛群 $ ext{Sp}(2n,mathbb{R})$（或 $ ext{Sp}(2n,mathbb{C})$）。我們將這些群的結構與其所作用的二次型或辛形式緊密聯係起來。 對於正交群 $ ext{O}(n)$，我們首先定義瞭標準二次型 $Q(x) = x_1^2 + dots + x_n^2$。我們分析瞭 $ ext{O}(n)$ 的連通分支，特彆是特殊正交群 $ ext{SO}(n)$。關於 $ ext{SO}(n)$ 的錶示，我們利用矩陣的對角化和正交分解，構建瞭其有限維錶示的基底。例如，在低維情況下（如 $ ext{SO}(3)$），我們詳細討論瞭球麵調和函數與這些群錶示的關係，這在數學物理中有重要應用。 辛群 $ ext{Sp}(2n)$ 的結構依賴於一個非退化的反對稱雙綫性形式 $omega$。我們詳細闡述瞭 $ ext{Sp}(2n)$ 作為保持 $omega$ 不變的 $2n imes 2n$ 復矩陣群的定義。辛群的李代數 $mathfrak{sp}(2n)$ 的結構常通過其 Cartan 子代數的選擇來研究。我們關注於如何將這些群錶示嵌入到 $ ext{GL}(2n)$ 的錶示中，特彆是與凱萊變換相關的結構，但我們著重於直接構造其不可約錶示，而非依賴於更普遍的分類理論。 第三部分：經典群的稠密子群與布洛赫分解 本書的後半部分探討瞭經典群的代數結構，重點在於它們作為代數群的性質。我們利用瞭阿貝爾和布洛赫（Borel-Chevalley）分解的思想，來剖析拋物子群（Parabolic Subgroups）的結構。 我們定義瞭不同類型的拋物子群 $P$（例如，與標準旗流形相關的 $P_I$），並展示瞭如何利用它們來分解經典群，例如 $ ext{SL}(n)$ 的布洛赫分解 $G = B cup igcup_{w in W} BwB$，其中 $B$ 是一個上三角矩陣構成的玻雷爾子群。我們詳細分析瞭 $B$ 及其極大理想 $N$ 的結構，並利用根空間分解來描述 $mathfrak{g}$ 中相應李代數的 Nilpotent 部分。 此外，本書討論瞭經典群的對稱空間結構。對於 $ ext{O}(n)$ 和 $ ext{Sp}(2n)$，它們與特定的歐幾裏得空間或辛空間上的等距變換有關。我們探討瞭這些對稱空間（如 Grassmann 流形）上的幾何結構，以及由這些群誘導的測地綫流。這部分內容側重於微分幾何的視角，即如何將群的代數結構轉化為幾何性質。 第四部分：經典群的錶示理論與特徵公式的解析 在對經典群的幾何和代數結構進行考察後，我們迴到錶示論的核心問題：如何係統地構造和識彆它們的不可約錶示。 我們引入瞭韋伊（Weyl）秩公式的背景，但我們的重點是經典群的特定特徵公式。例如，我們展示瞭如何利用行列式公式（如 Schur 多項式或 Gelfand-Tsetlin 模式）來計算特定錶示的特徵標，這些公式直接來源於對群作用於特定張量空間的分析。我們專注於利用對稱群（對於 $ ext{GL}(n)$）或更復雜的 Weyl 群（對於所有經典群）的結構來組織這些特徵標，但避免瞭對所有 Cartan 類型的全麵分類。 本書最後討論瞭經典群在特定數學物理模型（如熱核展開、量子場論中的規範場論）中的具體應用，展示瞭對 $ ext{SU}(2)$ 和 $ ext{SU}(3)$ 錶示的實際計算。 本書特色： 本書的敘述風格保持瞭嚴謹的數學推導，但強調瞭具體群（$ ext{GL}, ext{O}, ext{Sp}$）的直觀幾何意義和矩陣實現，力求為讀者提供一個深入且不依賴於過於抽象的分類理論的經典群結構圖景。全書側重於矩陣群的具體性質、旗流形的構造以及相關二次型/辛形式下的不變性問題。

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