Moments, Positive Polynomials and Their Applications

作者:Lasserre, Jean-Bernard

页数:300

出版时间:2009-10

价格:769.00元

isbn号码:9781848164451

具体描述

Many important problems in global optimization, algebra, probability and statistics, applied mathematics, control theory, financial mathematics, inverse problems, etc. can be modeled as a particular instance of the Generalized Moment Problem (GMP). This book introduces, in a unified manual, a new general methodology to solve the GMP when its data are polynomials and basic semi-algebraic sets. This methodology combines semidefinite programming with recent results from real algebraic geometry to provide a hierarchy of semidefinite relaxations converging to the desired optimal value. Applied on appropriate cones, standard duality in convex optimization nicely expresses the duality between moments and positive polynomials. In the second part of this invaluable volume, the methodology is particularized and described in detail for various applications, including global optimization, probability, optimal context, mathematical finance, multivariate integration, etc., and examples are provided for each particular application.

用户评价

这本《Moments, Positive Polynomials and Their Applications》听起来就是那种能让你在纯数学的深海里畅游一番的书。我得说，光是这个标题，就已经勾勒出了一幅严谨而迷人的图景。我猜，它很可能深入探讨了矩问题（Moment Problem）的核心，那是泛函分析和概率论交汇的一个奇妙地带。读者大概需要对测度论和泛函分析有一定的基础认识，才能真正跟上作者的思路，去理解那些由非负测度产生的矩序列所蕴含的深刻结构。我特别期待书中能详细阐述波利亚-辛琴（Pólya-Szegő）的经典结果，以及如何将这些抽象的矩理论转化为对特定函数空间或操作符性质的洞察。而且，“Positive Polynomials”这个词组暗示着，书中必然会花费大量篇幅讨论那些在特定区域内恒为非负的多项式，它们在逼近论、控制论甚至优化问题中扮演着至关重要的角色，比如卡尔森-洛文赫尔姆（Carlson-Löwner）理论可能也会被触及。这本书的价值，我想，不在于提供快速的“应用秘籍”，而在于为那些致力于数学底层理论研究的人，搭建起一座坚实的知识桥梁，让你在领略其数学美的同时，也掌握了处理复杂问题的工具箱。它显然不是那种能在咖啡馆里轻松翻阅的读物，更像是需要台灯、白板和无数次演算才能真正消化的硬核学术著作。

这本书的潜在读者群体，在我看来，一定是那些对“确定性”在不确定性中如何体现出结构美感特别着迷的学者。矩理论本质上就是试图用有限信息（即矩）来重构一个完整的对象（即测度或分布），而正多项式则提供了实现这种重构或逼近的数学语言。我希望书中能够深入探讨波因斯卡（Poincaré）关于正则测度的相关结论，以及这些结论如何被推广到无限维空间。一个关键点在于，正多项式在哪些条件下能够“充分”地覆盖其定义域？这通常涉及到塞格-巴尔克（Szegő-Barker）类型的边界行为分析。如果书中能提供一个现代化的、使用计算代数或几何学的视角来审视这些经典问题，那就太吸引人了。例如，如何利用计算工具来生成或验证某个区域上的正多项式基底？这对于实际操作中的模型建立至关重要。总而言之，这本书的气质，我认为是那种能让你在钻研数小时后，猛然间领悟到某个长期困扰你的数学问题的核心结构，那种醍醐灌顶的学术愉悦感，正是这类专题著作的魅力所在。

坦白讲，初次看到《Moments, Positive Polynomials and Their Applications》这个书名时，我脑海中立刻浮现出一种老派、严谨的德式数学教科书的风格。那种书籍的特点是论证步步为营，定义精确到令人发指，推导过程几乎不跳跃任何一步，确保读者能够完全掌控每一个细节，但同时也意味着阅读体验可能比较“厚重”。我非常好奇，作者是如何处理正多项式的具体刻画问题的——比如经典的阿尔玛斯（Almházy）或更现代的关于半正定矩阵（SDP）的连接。如果这本书能提供一个清晰的脉络，展示从经典的汉斯-蒂埃德（Hankel-Tietze）矩阵到更现代的基于凸优化理论的应用，那简直是太棒了。尤其是“Applications”这个词，如果能涵盖到信号处理中的谱估计，或者在量子信息理论中如何用矩来表征量子态的可分离性，那就不仅仅是纯数学的讨论了，而是具有极强的时代前沿意义。我希望作者能巧妙地平衡理论的深度与应用的广度，让那些在不同领域挣扎的研究人员，能从这本书中找到解决特定难题的数学根源。它应该是一本能让你在翻阅后，对“正定性”这个看似简单的概念产生全新的、更加深刻的理解的参考书。

这本书无疑是面向那些希望在分析和代数几何的交叉点上深挖的读者的。我猜想，作者必定会引入关于希尔伯特（Hilbert）的17号问题及其在当前研究中的地位。正多项式理论正是解决这一古老问题的现代工具之一，它关注的是：哪些有理函数（或多项式）可以表示为平方和？这本书如果能清晰地展示从实代数几何的视角如何切入，特别是关于“实代数簇”的结构分析，那就达到了极高的境界。此外，在应用方面，我希望看到这些工具是如何被用来处理非线性偏微分方程的解的正则性或存在性问题。例如，在某些情况下，矩的渐近行为可以揭示解的奇性结构。这本书的深度，必然要求读者具备高度的抽象思维能力，它不是一本帮你快速入门的教材，而更像是一份邀请函，邀请你进入一个由非负性、积分表示和矩阵分解所构筑的精妙世界。它需要耐心，但回报将是洞察力层面的巨大提升。

从书名的结构来看，《Moments, Positive Polynomials and Their Applications》似乎是试图将一个核心的分析工具箱进行一次全面的梳理和展示。我推测，这本书可能花费了相当大的篇幅来讨论施图姆-利乌维尔（Sturm-Liouville）理论与正交多项式的紧密联系。因为正交多项式的系数和根的分布，直接与底层测度的性质相关联，这无疑是矩理论最直观的体现之一。特别关注“Positive Polynomials”部分，我希望作者能详细剖析如霍夫曼-库斯（Hoffman-Kus）定理或其他关于多变量正定性的判定准则。这不仅仅是理论的探讨，在优化领域，判定一个函数的局部极小值是否为全局极小值，往往就归结于能否找到一个相关的正多项式表示。如果这本书能清晰地勾勒出从纯数学的构造到实际的判定算法之间的转化路径，那么它的实用价值将大大提升。这本书的语言风格，我预感会是那种学术界公认的、对精确性要求极高的表达方式，每一句话都承载着严密的逻辑推导，不容许丝毫的歧义。