高等数学专题分类指导

出版者:同济大学出版社

作者:西北工业大学高等数学教研室

页数:559

出版时间:1999-08

价格:20.00

装帧:平装

isbn号码:9787560820545

具体描述

内 容 提 要

本书是高等数学（同济四版）

教材的辅导参考书。书中对高等

数学的基本内容作26个争题分类

讲解，每一讲由基本内容提要、

典型例题和练习题三部分组成。

基本内容提要把所用到的基本概

念、定理、公式罗列出来，便于

读者学习；典型例题，根据所述

内容，精选例题，阐明解题思路、

总结解题方法和该类题目的特点，

解题关键及常用解法；练习题，

精选出若干具有代表性的题目，

书末附有答案与提示，供读者参

考。

本书可作为高等工科院校高

等数学课程的教学参考书，也可

作为报考硕士研究生的数学复习

资料。

目录信息

目 录
第1讲 求极限的方法与技巧
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第2讲 一元分段函数的极限、连续、导数与积分
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第3讲 中值命题的证明
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第4讲 一元函数微分法
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第5讲 导数的应用
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第6讲 方程根的证明问题
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第7讲 如何证明不等式
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第8讲 不定积分计算法
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第9讲 关于积分上限函数
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第10讲 定积分与广义积分
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第11讲 定积分的应用问题
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第12讲 向量代数
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第13讲 平面与直线
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第14讲 曲面与空间曲线
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第15讲 二元函数的极限与连续
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第16讲 多元函数微分法
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第17讲 多元函数微分学应用问题
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第18讲 二重积分
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第19讲 三重积分
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第20讲 曲线积分
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第21讲 曲面积分
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第22讲 常数项级数
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第23讲 幂级数
、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第24讲 傅立叶级数
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第25讲 一阶微分方程求解问题
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
第26讲 高阶线性微分方程的理论与二阶微分方程的解法
一、基本内容提要
二、典型例题
三、练习题
答案与提示
· · · · · · (收起)

用户评价

对于“线性代数”中的“向量空间”、“线性变换”以及“特征值和特征向量”这些内容，我一直觉得它们既抽象又重要。尽管我接触过一些介绍性的书籍，但总是难以形成一个连贯的认识。《高等数学专题分类指导》在这方面给了我一个全新的视角。它将这些概念放在一个“代数结构与变换分析”的专题下进行深入探讨。书中对“向量空间”的讲解，不仅仅是罗列了向量空间的定义和性质，更重要的是，它通过引入“子空间”、“基”和“维数”等概念，让我理解了向量空间的内在结构。我尤其欣赏书中对“线性变换”的专题化处理。它详细介绍了线性变换的定义、性质，以及矩阵与线性变换之间的对应关系。通过大量的例子，让我看到了线性变换如何改变向量的长度、方向，以及它们在几何中的应用，例如旋转、缩放、投影等。此外，书中还专门辟出了一个专题，讲解“特征值和特征向量”在理解线性变换“不变方向”上的关键作用，以及它们在对角化、微分方程求解等方面的应用。这种将抽象的代数概念与具体的几何变换和应用相结合的讲解方式，不仅加深了我对这些概念的理解，更重要的是，它培养了我用代数语言来描述和分析数学问题的能力，让我在面对更复杂的代数问题时，不再感到束手无策。

一直以来，我总觉得“微分方程”是高等数学中最具挑战性的部分之一。我承认，我对它既敬畏又感到一丝畏惧。过去的学习经历中，我常常被那些繁复的公式和解法弄得头晕目眩，感觉自己就像一个在迷宫里打转的探险家，虽然知道出口就在某个地方，却总是找不到正确的路径。《高等数学专题分类指导》的出现，就像是为我提供了一张清晰的地图。书中对“一阶微分方程”和“高阶线性微分方程”的专题划分，以及对它们求解方法的系统性梳理，让我耳目一新。作者并没有简单地罗列各种方程的解法，而是深入分析了不同类型微分方程的“结构特征”和“解题思路”。例如，在讲解“常系数线性微分方程”时，它不仅详细介绍了求特征方程、通解等步骤，更重要的是，它通过对“二阶齐次线性微分方程”解的性质的深入剖析，让我理解了为什么会有特定的解的形式，以及这些解如何反映了物理系统的行为。此外，书中还专门辟出了一个专题，讲解“微分方程在实际问题中的应用”，将抽象的数学模型与具体的物理现象（如人口增长、放射性衰变、电路分析等）紧密联系起来，让我看到了数学工具在描述和预测现实世界中的强大威力。这种学习体验，让我从被动接受转化为主动思考，真正体会到了数学的逻辑美和实用价值。

我一直觉得，在高等数学的学习过程中，如何将“极限”这一概念融会贯通，是决定学习成败的关键。《高等数学专题分类指导》在这方面做得非常出色。它并没有将极限仅仅作为一个独立的章节来讲解，而是将其渗透到各个专题中，并进行了深入的专题化阐述。书中专门设立了一个“极限的深入探究”专题，系统地梳理了“数列极限”、“函数极限”以及“无穷小和无穷大”等概念。我特别喜欢书中对“夹逼定理”和“单调有界定理”的讲解，作者不仅给出了严谨的数学证明，更重要的是，它通过精心设计的例子，让我理解了这些定理在判断函数或数列敛散性时的强大作用。此外，书中还对“洛必达法则”的应用进行了深入的专题分析，它不仅仅是介绍了求解未定式极限的技巧，更重要的是，它从“微分中值定理”的角度，阐述了洛必达法则的数学根源，让我明白了为何它能够如此有效地解决极限问题。这种贯穿始终的、对“极限”概念的深入挖掘和专题化讲解，不仅让我对极限有了更深刻的理解，更重要的是，它帮助我建立了扎实的数学基础，为我后续学习更高级的内容打下了坚实的基础。

我在学习“多元函数积分”部分时，常常会遇到一些理解上的瓶颈。尤其是对于“重积分”和“曲线积分”、“曲面积分”之间的联系，我总感觉缺乏一个清晰的线索。《高等数学专题分类指导》在这方面提供了一个极具价值的视角。它将这些概念放在一个“积分理论的推广与深化”的专题下进行梳理。书中对“重积分”的讲解，不仅仅局限于直角坐标系下的计算，更重要的是，它详细介绍了“极坐标”、“柱坐标”和“球坐标”系下的积分方法，并阐述了在不同坐标系下进行变量替换的重要性。我尤其赞赏书中对“格林公式”、“高斯公式”和“斯托克斯公式”的专题讲解。它并没有将这些公式仅仅作为解题工具来介绍，而是深入剖析了它们之间的内在联系，以及它们如何将不同维度的积分相互转化。通过大量的几何解释和物理背景的引入，让我深刻理解了这些公式在联系场论和积分计算中的关键作用。这种将抽象的数学概念与具体的几何和物理应用相结合的讲解方式，不仅加深了我对积分理论的理解，更重要的是，它激发了我探索更高级数学的兴趣，让我看到了数学工具在解决复杂科学问题时的巨大潜力。

我对“概率论与数理统计”部分的掌握，一直以来都是断断续续的，感觉像是零散的知识点堆积，缺乏一个系统性的框架。《高等数学专题分类指导》在这方面给了我一个非常棒的补充。它将“概率的基本概念”、“随机变量及其分布”以及“数理统计的基本方法”等内容，放在一个“随机现象的数学刻画与推断”的专题下进行深入探讨。书中对“概率基本概念”的讲解，不仅仅是罗列了公理化定义，更重要的是，它通过大量的实际例子，例如硬币抛掷、骰子投掷、抽样调查等，让我理解了概率的含义以及如何计算事件发生的概率。我尤其欣赏的是，书中对“随机变量”及其“分布函数”、“概率密度函数”的专题化处理。它详细介绍了离散型随机变量和连续型随机变量的不同特点，以及期望、方差等统计量的计算方法。此外，书中还专门辟出了一个专题，讲解“数理统计的基本方法”，包括参数估计、假设检验等，并通过实例让我看到了如何利用样本数据来推断总体的性质。这种将理论知识与实际应用紧密结合的讲解方式，不仅加深了我对概率论与数理统计的理解，更重要的是，它帮助我建立了一个清晰的学习思路，让我能够更有效地掌握这些知识，并将其应用于实际问题中。

我必须承认，我在学习“微分中值定理”和“泰勒公式”这两个专题时，一直感到有些力不从心。它们在理论上非常重要，但在实际应用中，我总觉得它们的“意义”不够清晰，或者说，我无法将它们与解题技巧有效地结合起来。《高等数学专题分类指导》在这方面给了我一个非常棒的启示。它将这些概念放在一个“函数逼近与性质分析”的专题下进行深入探讨。书中对“拉格朗日中值定理”的讲解，不仅仅是给出了定理的陈述和证明，更重要的是，它通过生动的几何解释，让我理解了“切线”与“割线”之间的关系，以及它在证明函数单调性、不等式等方面的应用。我尤其欣赏的是，书中对“泰勒公式”的专题化处理。它详细介绍了“泰勒展开式”、“麦克劳林公式”，并重点分析了“余项”的几种不同形式，以及它们在函数逼近、数值计算和渐近分析中的重要作用。通过大量的实例，让我看到了如何利用泰勒公式来近似计算复杂的函数值，或者分析函数的局部行为。这种将抽象的理论与具体的应用紧密联系起来的讲解方式，不仅加深了我对这些概念的理解，更重要的是，它帮助我建立了扎实的理论基础，为我后续学习更高级的数学内容打下了坚实的基础。

对于“向量代数”和“空间解析几何”这两个部分，我一直有一种“用则易，学则难”的感受。很多时候，做题的时候似乎能套用公式，但要深入理解这些概念背后的几何意义，却总觉得有些模糊。《高等数学专题分类指导》在这方面给了我一个非常扎实的补充。它没有将这两个概念割裂开来，而是将它们置于一个“三维空间中的几何描述”的专题下进行探讨。作者通过清晰的图示和深入的文字，详细阐释了向量的线性运算、点积、叉积在几何上的意义，以及直线、平面方程的向量表示法和坐标表示法之间的转换。我尤其欣赏的是，书中对“曲面方程”的讲解，它不仅仅是列举了球面、椭球面、抛物面等常见曲面的方程，更重要的是，它通过对这些方程的“参数化”和“截面”分析，让我能够从不同的角度去理解和想象这些三维图形。例如，当讲解“二次曲面”时，作者通过分析不同常数值下的截面形状，生动地展示了如何通过简单的代数方程来构建复杂的几何体。这种将代数与几何紧密结合的讲解方式，不仅加深了我对相关概念的理解，更重要的是，它培养了我用数学语言来描述和分析空间问题的能力，让我在面对更复杂的几何问题时，不再感到束手无策。

拿到这本《高等数学专题分类指导》的时候，我其实带着一种非常复杂的心情。一方面，我渴望能找到一本能够真正帮我梳理高等数学脉络的书，毕竟我这人在学习上总是容易陷入细节，抓不住整体框架。市面上的教材太多了，来来往往也看过不少，但总是觉得它们要么过于枯燥，要么就是对某些我认为至关重要的“专题”提炼得不够深入，导致我总是在某个知识点上反复钻研，却难以举一反三，更别提触类旁通了。特别是那些像是“微分中值定理的几何意义”、“定积分在物理中的应用”这类我总觉得似懂非懂，却又在解题时反复遇到的地方，总感觉缺乏一个清晰、系统的讲解，就好像隔靴搔痒一样。我对这本书的期待，很大程度上在于它能否给我一个全新的视角，让我能够站在一个更高的层次去理解这些概念，而不是仅仅停留在解题技巧层面。我希望它能帮助我构建一个更加稳固的知识体系，让我在面对复杂问题时，能够更加从容和自信，而不是像以前那样，每次遇到难题就感觉像是在黑暗中摸索，不知道从何下手。这本《高等数学专题分类指导》的名字本身就充满了吸引力，仿佛预示着它能够将那些零散的知识点一一归类，然后用一种更有条理、更易于理解的方式呈现出来，从而达到“指导”的目的。我非常期待它能填补我在学习高等数学过程中存在的那些“盲区”，让我真正感受到学习的乐趣和力量。

坦白说，我之前对“级数”这一块的掌握一直有些模糊。在我看来，无穷级数就像一个巨大的、无边无际的海洋，虽然知道里面蕴藏着无限的可能，但总是难以找到登陆的入口，更别提深入探索了。市面上很多书对级数的介绍，要么就是罗列收敛判别法，要么就是讲泰勒展开，但总感觉这些技巧之间缺乏一种内在的逻辑联系，让我觉得它们是孤立的，难以形成一个完整的知识体系。而《高等数学专题分类指导》在这方面给了我极大的启发。它将“幂级数”、“傅里叶级数”等看似不同的概念，放在了一个更广阔的“函数展开”的专题下进行探讨。作者通过对幂级数和傅里叶级数各自的性质、收敛性以及应用场景的详细对比分析，让我清晰地看到了它们之间的异同，以及它们在不同领域解决问题的优势。尤其是对“傅里叶级数”的讲解，它不仅仅停留在数学推导层面，还生动地阐述了其在信号处理、图像分析等领域的广泛应用，这让我第一次真正感受到数学的魅力和力量。这种专题化的梳理，不仅让我掌握了解决具体问题的技巧，更重要的是，它帮助我理解了这些数学工具背后的“思想”，让我能够更灵活地运用它们，甚至触类旁通，举一反三，去解决那些我以前从未接触过的问题。

我必须承认，在翻阅《高等数学专题分类指导》的初期，我曾有过一丝疑虑。主要是因为我习惯了按部就班地按照教材的章节顺序来学习，而这本书似乎提供了一种更加灵活的、以“专题”为导向的学习路径。起初，我担心这种分类方式会不会打乱我原有的学习节奏，或者是否会忽略某些基础知识的连贯性。然而，随着我深入阅读，这种担心很快就被我对内容的高度认可所取代。书中对“多元函数微分学”和“重积分”的专题化处理，真的是让我眼前一亮。它没有仅仅罗列定理和公式，而是深入剖析了这些概念的内在逻辑和相互联系。例如，在讲解“方向导数和梯度”时，作者不仅给出了严格的定义和计算方法，更重要的是，它通过生动的比喻和图示，阐释了梯度向量在描述函数变化率方向上的重要作用，这让我对“坡度”和“最陡升降方向”有了更直观的理解。同样，在关于“重积分的应用”这一专题中，它将体积、质量、重心等概念都巧妙地与重积分联系起来，让我看到数学工具在解决实际物理问题时的强大生命力。这种学习方式，仿佛是在给我搭建一个更牢固的“知识骨架”，让我能够在这个骨架上更有效地填充和延伸我的理解，而不是被动地接受信息。我开始意识到，学习高等数学，确实需要一些能够引领我们“跳出舒适圈”，去探索知识的更高层级的方法。