具体描述
本书是作者在大学有关专业近三十年教学实践的基础上编写的。
全书共分9章。前6章是本书的基本部分，即强调直观背景和应用，又尽量吸收学科发展的新材料。后3章是进一步学习的内容：其中第7章和第8章主要从广度发展，写法仍较初级，第9章则是向深度发展，为读者提供基于测度论的现代概率的理论基础。
本书采用积木式结构，通过各章材料的不同组合可作为大学本科各专业和部分专业的研究生有关课程的教科书或教学参考书，同时也可供需要学习和应用概率论、随机过程的人员自学使用。
《应用概率及其理论基础》内容概述 本书旨在为读者提供一个全面而深入的概率论与数理统计学习路径，重点聚焦于理论的严谨性与实际应用的可操作性。全书结构清晰，从最基础的概率概念出发，逐步深入到高阶的随机过程与数理统计推断。 第一部分：概率论基础与随机变量 本书的开篇部分构建了概率论的坚实基础。首先，我们严格定义了概率空间，包括样本空间、事件域（$sigma$-代数）以及概率测度。在此基础上，我们详细阐述了概率的基本性质，如可加性、连续性以及条件概率的定义与全概率公式、贝叶斯公式的推导与应用。特别地，我们花费了大量篇幅来解释概率测度在测度论背景下的严格性，这对后续理解更复杂的随机现象至关重要。 随后，内容过渡到随机变量的概念。我们区分了离散型随机变量、连续型随机变量和混合型随机变量，并详细介绍了它们对应的概率质量函数（PMF）、概率密度函数（PDF）以及累积分布函数（CDF）。对这些函数的性质及其相互关系进行了深入探讨。 本部分的核心内容之一是对期望、方差和矩的系统性讲解。我们不仅给出了定义，还深入探讨了期望的线性性质、积分的性质，以及切比雪夫不等式等重要的不等式工具。此外，联合分布的分析占据了重要地位，包括边缘分布的求取、随机变量函数的分布（如雅可比变换）以及独立随机变量的性质。我们还详细讨论了常用的多维分布，如多维正态分布，并分析了其协方差矩阵的结构。 第二部分：重要概率分布与极限理论 第二部分聚焦于实际应用中最常遇到的各类概率分布及其性质。离散分布方面，我们深入分析了二项分布、泊松分布、几何分布和负二项分布的来源、矩及其在实际问题中的模型构建能力。连续分布方面，均匀分布、指数分布、伽马分布、贝塔分布以及最重要的正态分布（高斯分布）被详尽阐述。我们特别强调了正态分布在自然界和工程中的普遍性及其在中心极限定理中的关键作用。 理论深度的提升体现在对特征函数（矩母函数）的讨论。特征函数作为一种强大的分析工具，被用来证明独立随机变量的和的分布、验证分布的唯一性，以及求解复杂的分布卷积。 本部分的高潮是概率论的极限理论。我们严谨地定义了依概率收敛、几乎处处收敛和依分布收敛等几种重要的收敛概念，并详细证明了它们之间的相互关系。大数定律（包括弱大数定律和强大数定律）和中心极限定理（CLT）的证明及其在统计推断中的地位被置于核心地位。我们不仅展示了经典的林德伯格-费勒中心极限定理，还讨论了多元正态分布下的向量中心极限定理。 第三部分：随机过程基础 第三部分将概率论从静态的随机变量扩展到随时间演化的随机过程。我们首先介绍了随机过程的基本概念、有限维分布和协方差函数的性质。 核心模型包括： 1. 马尔可夫链（Markov Chains）：我们详细介绍了离散时间马尔可夫链的转移概率矩阵、$n$步转移概率、状态空间分类（常返、瞬态、吸收态）、平稳分布的存在性与计算，以及遍历性定理。这为分析序列决策和状态转移系统奠定了基础。 2. 泊松过程（Poisson Process）：作为最基础的计数过程，我们解释了其独立增量和定常增量的性质，推导了其概率分布，并讨论了复合泊松过程。 3. 布朗运动（Wiener Process）：作为连续时间随机过程的典范，我们阐述了标准布朗运动的路径性质（如二次变差、无穷可微性的缺乏），并介绍了其在金融数学等领域的初步应用。 第四部分：数理统计基础 第四部分开始转向数理统计，即如何从数据中学习和推断总体特征。本部分侧重于推断的理论基础。 首先，我们探讨了随机样本的概念，并引入了充分统计量（基于费希尔-尼曼分解定理）和完备充分统计量的概念，用以提取数据中的关键信息。 接着，我们引入了估计理论的核心。我们详细介绍了点估计的常用方法：矩估计法（MOM）、极大似然估计法（MLE）以及贝叶斯估计法。对于估计量的优良性，我们定义了无偏性、有效性、一致性，并推导了克拉美-劳下界（Cramér-Rao Lower Bound, CRLB），用以衡量估计量的精度极限。 第五部分：统计推断进阶与应用 最后一部分将理论应用于实际的统计推断。 1. 区间估计：我们讲解了置信区间的构造原理，特别关注基于大样本近似（基于中心极限定理）和基于特定分布（如t分布、$chi^2$分布、F分布）的精确置信区间的构建，例如均值、方差和比例的置信区间。 2. 假设检验：这是统计推断的另一大支柱。我们系统地介绍了假设检验的基本框架，包括原假设、备择假设、I类错误（显著性水平）和II类错误（功效）。我们详细阐述了Neyman-Pearson引理，并将其推广到似然比检验（LRT）的构建，这是现代统计检验的基石。常见检验，如Z检验、t检验、$chi^2$检验和方差分析（ANOVA）的基本原理和适用条件被详尽剖析。 本书的特点在于，它在介绍每一个核心概念时，都力求在直观理解和严格数学证明之间找到平衡，确保读者不仅知其然，更能知其所以然，从而为后续深入研究随机数学、金融工程或高级数据科学打下不可动摇的理论根基。每章末尾均附有大量的习题，旨在巩固理论知识并锻炼实际建模能力。
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