数学3

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出版者:北京师大
作者:严士健
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页数:0
译者:
出版时间:
价格:10.7
装帧:
isbn号码:9787303084524
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具体描述

《高等代数:结构与应用》 内容简介 本书是为高等院校数学专业本科生编写的一本深入、严谨的高等代数教材。它旨在系统地介绍抽象代数的核心概念和基本理论,并展示这些理论在数学其他分支及相关科学领域的广泛应用。全书内容组织严谨,逻辑清晰,力求在保持数学严谨性的同时,兼顾教学的启发性和直观性。 第一部分:群论基础 本书的开篇部分聚焦于代数结构中最基础且最重要的概念——群。我们从集合、二元运算等基本概念入手,逐步过渡到群的定义、性质、子群以及陪集。 1. 群的基本概念与性质: 详细阐述了群的四大公理(封闭性、结合律、单位元、逆元),并引入了交换群(阿贝尔群)的概念。通过大量的实例,如整数加法群、非零有理数乘法群、以及矩阵群(如可逆矩阵群 $ ext{GL}_n(F)$),帮助学生建立对抽象结构的直观理解。特别探讨了群的阶、拉格朗日定理及其推论,这是群论中的基石性成果。 2. 子群与陪集: 深入研究子群的判定、生成子群的概念。陪集是连接群与商群的桥梁。本书详细阐述了左陪集和右陪集的定义、性质,并严格证明了在阿贝尔群中左陪集等于右陪集,而在一般群中则不一定相等。 3. 正规子群与商群: 正规子群是构建新群的关键。我们定义了正规子群的等价条件,并在此基础上构造了商群(或称因子群)。商群的构造过程,即对一个群按其正规子群进行划分,是理解代数结构分解的核心。 4. 同态与同构: 态射(Homomorphism)是研究不同群之间结构关系的工具。本书详细介绍了群同态的定义、核(Kernel)与像(Image)的性质,并严格证明了同态基本定理(第一同构定理):商群与像同构。此外,还探讨了同构、自同构及其在分类群时的重要性。 5. 群的作用与Sylow定理: 群作用(Group Action)是理解群如何作用于其他集合的强大视角。我们介绍了等价关系、轨道(Orbit)和稳定子(Stabilizer),并利用这些概念推导出著名的“轨道-稳定子定理”。在此基础上,本书系统地引入了Sylow $p$-子群的存在性定理,这是有限群分类理论的基石,本书给出了清晰且易于理解的证明过程。 第二部分:环论基础 在掌握了群论的抽象思维后,本书将研究对象扩展到拥有两种运算的代数结构——环。 1. 环的定义与基本性质: 环的定义包括加法上的阿贝尔群结构和满足分配律的乘法运算。我们介绍了交换环、单位环、整环(Integral Domain)以及域(Field)等重要概念,并分析了零因子、可除性等基本性质。经典实例包括整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$ 和矩阵环 $M_n(F)$。 2. 子环与理想: 理想(Ideal)是环中的特殊子群,它在乘法运算下具有更强的封闭性,是定义商环的基础。本书详细讨论了理想的性质,特别是主理想、极大理想和极小理想的定义与相互关系。 3. 环同态与商环: 类似于群论,我们定义了环同态,并证明了环同态基本定理。商环的构造是环论中的核心操作,它允许我们将一个复杂的环结构“简化”为一个更基本的结构。 4. 整环与域的结构: 重点研究了整环的特性。引入了积分域(域的等价说法)的概念,并讨论了域的特征。对于特定的环,如多项式环 $F[x]$,本书深入探讨了其在$F$上的除法算法,并引入了欧几里得整环、主理想整环(PID)和唯一分解整环(UFD)的层次结构,明确了它们之间的包含关系(欧几里得 $implies$ PID $implies$ UFD,逆不成立的例子也予以说明)。 第三部分:域论 域论部分是代数理论与分析、几何联系最紧密的部分,对于理解伽罗瓦理论至关重要。 1. 域的扩充: 域扩充是代数核心问题之一。我们定义了扩充域 $E/F$,讨论了次数 $[E:F]$ 的概念,并详细阐述了代数元、超越元、代数扩张、有限扩张和域的基。 2. 分裂域与代数闭包: 引入了多项式的分裂域(Splitting Field)的概念,并证明了任意域上任何多项式都存在分裂域。此外,还介绍了代数闭包的存在性及其唯一性(在同构意义下)。 3. 正规扩张与可分扩张: 区分了不同类型的域扩张。正规扩张与分裂域密切相关,而可分扩张(Separable Extension)则关注在特征为零域或特征为 $p$ 域中,多项式根的重数问题。 4. 伽罗瓦理论基础: 阐述了伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$ 的定义及其性质。重点在于讨论伽罗瓦对应定理:在正规可分扩张中,子群与中间域之间存在着一一对应关系。本书将此定理作为核心,展示了如何利用群论的工具来解决经典的域扩张问题,例如判断域扩张是否由初等根式(如平方根、立方根)生成。 第五部分:线性代数回顾与张量积 虽然本书是高等代数,但为了保证对矩阵理论的深刻理解和为更高级课程做准备,我们对线性代数的核心内容进行了回顾,并引入了更抽象的工具。 1. 向量空间与线性映射: 简要回顾了向量空间的定义、基、维数,以及线性映射的核与像。 2. 张量积: 引入了向量空间张量积(Tensor Product)的概念,这是连接线性代数、多线性代数和表示论的关键概念。本书提供了构造性的定义,并探讨了张量积的泛性质,特别是其在描述多线性映射时的作用。 全书特色: 理论与实例并重: 每引入一个抽象概念,均辅以丰富的具体数学结构示例(如有限群、有限域、矩阵环等)进行说明。 证明的严谨性: 所有关键定理均给出完整、逻辑清晰的证明,培养学生的数学推理能力。 应用导向: 域论部分着重于伽罗瓦理论,为学生理解五次及以上方程的根式解问题提供了必要的代数基础。 现代视角: 从一开始就以结构化的方式介绍群、环、域,符合现代抽象代数的教学趋势。 本书适合数学、物理学、计算机科学等专业的高年级本科生或研究生作为入门教材使用。掌握本书内容,将为进一步学习表示论、代数几何、代数拓扑等高级课程打下坚实的基础。

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读后感

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用户评价

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这本书的语言风格极其独特,带着一种古典的韵味和现代的犀利感,两者结合得天衣无缝,形成了极强的个人辨识度。我很少看到有作者能将如此深奥的哲学思考融入到日常的对话和场景描写中,却丝毫不显晦涩难懂。作者的词汇量无疑是惊人的,但更令人敬佩的是他对词语的驾驭能力,每一个形容词和动词的选择都恰到好处,极大地增强了画面的立体感和冲击力。我尤其喜欢那些环境描写,它们不仅仅是背景板,更像是角色心境的投射,例如描绘那片被遗忘的森林时,那种潮湿、腐朽却又生机勃勃的景象,仿佛能闻到泥土和苔藓的气息。书中穿插的一些独白和内心 OS,更是如同诗歌一般优美,充满了哲理的火花,让人忍不住会停下来,反复默读几遍,思考其背后的深层含义。总而言之,这是一次纯粹的文字盛宴,对文字美感有较高要求的读者,定不会失望。

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这部小说的配乐和氛围营造能力简直是教科书级别的。虽然我们是在阅读,但作者似乎拥有一种魔力,能将声音和场景直接“植入”读者的脑海中。书中对声音细节的捕捉尤其令人称奇,无论是金属碰撞的尖锐,还是远处低沉的雷鸣,都描绘得极其逼真,极大地增强了临场感和紧张感。特别是有一段关于主角在地下迷宫中潜行的描写,作者通过对呼吸声、脚步声和水滴声的密集刻画,将那种令人窒息的幽闭恐惧感展现得淋漓尽致,我当时读到那里几乎是屏住了呼吸。这种对听觉感官的调动,远超了一般的文字描述,它让冰冷的文字拥有了温度和脉动。对于热衷于沉浸式阅读体验的读者来说,这本书提供的“声场”绝对是顶级的享受,它让阅读不再是单纯的视觉活动,而是一场全方位的感官体验。

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关于这部作品的主题深度,我认为它远远超越了一般的类型文学范畴,触及到了关于存在、自由意志以及集体记忆等宏大议题。作者并未直接给出答案,而是通过一系列充满象征意义的事件和意象,引导读者进行深层次的哲学反思。最让我印象深刻的是关于“遗忘的代价”这一主题的探讨,它不仅仅是针对某个历史事件的隐喻,更是对个体如何在信息洪流中保持自我认知的一种警示。书中那些看似无关紧要的符号和反复出现的物件,都蕴含着作者精心布置的哲学线索,需要读者细心去挖掘和解读。这种开放性的结局和主题处理方式,保证了作品持久的生命力,因为它迫使读者在合上书本后,仍旧会继续思考和辩论书中所提出的问题。它不是提供慰藉的作品,而是提出挑战的作品,非常适合喜欢思辨和深层解读的读者群体。

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从结构上来看,这部作品的布局堪称精妙,它采用了非线性的叙事手法,但过渡却异常自然流畅,丝毫没有打乱读者的阅读体验。作者巧妙地利用了“过去的回声”和“未来的预示”这两种叙事工具,使得整个故事的维度被极大地拓宽了。我特别欣赏作者在处理多线叙事时的能力,不同的时间线、不同的视角,最终都能在故事的关键节点上汇聚,产生巨大的能量释放。一开始我还有些担心会因为时间跳跃而感到困惑,但作者总能提供恰到好处的锚点,将读者的思绪稳稳地拉住。这种叙事上的大胆尝试,极大地提升了作品的文学价值和可读性,它要求读者主动参与到故事的拼图中去,这本身就是一种非常愉快的智力挑战。看完最后一页,回想整个阅读过程,你会发现所有的碎片早已被作者精心排列,展现出一幅完整而震撼的画面。

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这部作品的故事情节着实让人眼前一亮,作者构建了一个宏大而又细腻的架空世界,角色的成长弧光设计得尤为出色。我特别欣赏作者对于人物内心世界的刻画,那些细微的情绪波动、挣扎与抉择,都被描摹得入木三分,仿佛能直接触碰到角色的灵魂深处。开篇的铺垫略显缓慢,但一旦进入主线,情节的张力便如洪水般爆发出来,各种伏笔的巧妙回收让人拍案叫绝。尤其是在处理几个关键的转折点时,作者的笔力展现得淋漓尽致,既出乎意料又在情理之中,这是一种高超的叙事技巧。例如,主角团队在面对那个古老预言时的集体困境,那种绝望与希望交织的氛围,读来令人心潮澎湃,久久不能平复。整本书的节奏把握得相当到位,高潮迭起,低谷沉思,张弛有度,确保了阅读过程的流畅性和沉浸感。对于喜欢深度世界观构建和复杂人性探讨的读者来说,这本书绝对值得反复品味。

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