Optimization Algorithms on Matrix Manifolds pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Princeton Univ Pr

作者:Absil, P. a./ Mahony, Robert/ Sepulchre, Rodolphe

出品人:

页数:240

译者:

出版时间:2007-12

价格:$ 73.45

装帧:HRD

isbn号码:9780691132983

丛书系列:

图书标签:

流形
优化
矩阵
mainfold_learning
数学
optimization
Matrix
Math
Matrix Manifolds
Optimization
Algorithms
Numerical Optimization
Differential Geometry
Lie Groups
Convex Optimization
Machine Learning
Data Science
Applied Mathematics

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具体描述

Many problems in the sciences and engineering can be rephrased as optimization problems on matrix search spaces endowed with a so-called manifold structure. This book shows how to exploit the special structure of such problems to develop efficient numerical algorithms. It places careful emphasis on both the numerical formulation of the algorithm and its differential geometric abstraction - illustrating how good algorithms draw equally from the insights of differential geometry, optimization, and numerical analysis. Two more theoretical chapters provide readers with the background in differential geometry necessary to algorithmic development. In the other chapters, several well-known optimization methods such as steepest descent and conjugate gradients are generalized to abstract manifolds. The book provides a generic development of each of these methods, building upon the material of the geometric chapters. It then guides readers through the calculations that turn these geometrically formulated methods into concrete numerical algorithms. The state-of-the-art algorithms given as examples are competitive with the best existing algorithms for a selection of eigenspace problems in numerical linear algebra. "Optimization Algorithms on Matrix Manifolds" offers techniques with broad applications in linear algebra, signal processing, data mining, computer vision, and statistical analysis. It can serve as a graduate-level textbook and will be of interest to applied mathematicians, engineers, and computer scientists.

优化算法在矩阵流形上的应用：理论与实践本书旨在深入探讨优化算法在矩阵流形这一几何结构上的研究与应用。我们并非仅仅局限于传统的欧几里得空间中的优化问题，而是将目光投向了更广阔、更富挑战性的数学领域——矩阵流形。这些流形，如正交矩阵群、低秩矩阵集合、半正定矩阵锥等，在科学计算、机器学习、信号处理、控制理论以及计算机视觉等诸多领域扮演着至关重要的角色。核心内容概述：本书的第一部分将为读者搭建坚实的理论基础。我们将从矩阵流形的几何概念入手，详细介绍黎曼几何在理解矩阵流形上的关键作用。读者将学习到流形上的切空间、黎曼度量、测地线以及指数映射和对数映射等基本概念。这些工具不仅是理解后续优化算法的基石，也为我们提供了在非线性、非凸的矩阵流形上进行迭代优化的几何框架。我们会探讨不同类型矩阵流形的具体结构和特性，例如：正交矩阵群 (Orthogonal Manifolds): 如 $O(n)$ 和 $SO(n)$，它们在主成分分析 (PCA)、奇异值分解 (SVD) 以及各种降维技术中至关重要。低秩矩阵流形 (Low-Rank Manifolds): 关注具有特定秩约束的矩阵，这在矩阵填充、推荐系统、图像压缩等问题中应用广泛。半正定矩阵锥 (Positive Semidefinite Cone): 在半定规划 (SDP)、核范数最小化等问题中发挥着核心作用。其他结构化矩阵流形：如酉矩阵群、对称正定矩阵流形等。在建立了几何直观之后，我们将转向优化算法的设计与分析。本书将详细介绍针对矩阵流形开发的各种优化技术。这包括：黎曼梯度下降法 (Riemannian Gradient Descent): 这是最基础也是最重要的方法之一，我们将深入分析其在流形上的梯度计算、步长选择以及收敛性。黎曼牛顿法 (Riemannian Newton Methods): 介绍如何将牛顿法的二阶信息引入流形优化，以加速收敛。共轭梯度法 (Conjugate Gradient Methods): 探索如何在流形上有效地实现共轭梯度法，以处理大规模问题。其他高级算法：如拟牛顿法、加速梯度法等在矩阵流形上的推广和应用。本书的特色在于，我们不仅会介绍算法的数学原理，还会深入探讨算法的实现细节和数值稳定性问题。对于每一类算法，我们都会提供清晰的算法流程，并讨论其在不同矩阵流形上的具体实现方法。应用导向与案例分析：本书的第二部分将重点关注优化算法在矩阵流形上的实际应用。我们将通过一系列精心挑选的案例研究，展示如何利用这些工具解决现实世界中的复杂问题。这些应用场景涵盖：低秩矩阵逼近：如何利用流形优化来寻找最接近给定矩阵的低秩矩阵，例如在图像去噪、视频稳定和推荐系统中。主成分分析 (PCA) 和奇异值分解 (SVD) 的流形方法：探讨如何在正交流形上高效地计算 PCA 和 SVD，以及其在降维和特征提取中的优势。半定规划 (SDP) 的流形算法：介绍求解 SDP 问题的流形方法，及其在组合优化、控制理论和量子信息中的应用。矩阵分解与填充：讨论如何在矩阵流形上进行各种矩阵分解（如 Tucker 分解、Tensor Train 分解），以及如何解决大规模矩阵填充问题。机器人学与姿态估计：探讨在旋转群 (SO(3)) 等流形上进行姿态优化和传感器融合。机器学习中的结构化优化：例如，在图学习、核方法和深度学习的某些特定结构化模型中，优化问题可能自然地落到矩阵流形上。对于每一个应用案例，我们都将详细分析问题的数学建模，说明为何矩阵流形优化是解决该问题的自然选择，并给出相应的算法框架和实验结果。通过这些案例，读者将能够深刻理解矩阵流形优化算法的实用价值和强大能力。目标读者：本书适合具有一定线性代数、微积分和数值优化基础的研究生、博士后以及对机器学习、数据科学、信号处理、控制理论、计算机视觉和科学计算等领域感兴趣的从业人员。它既可以作为一本深入的教材，也可以作为一本有价值的参考书，帮助读者掌握在复杂非线性约束下进行优化问题的先进技术。本书的价值：本书的独特之处在于其对矩阵流形几何和优化算法的系统性结合。通过学习本书，读者将能够：建立深厚的理论理解：掌握矩阵流形的几何性质以及在其中进行优化的数学框架。熟练运用先进算法：能够理解、实现和改进针对矩阵流形的各种优化算法。解决实际应用问题：能够将所学知识应用于解决涉及结构化矩阵数据的复杂科学与工程问题。拓宽研究视野：为探索更高级、更前沿的优化理论和应用打下坚实基础。我们相信，本书将为致力于在数据科学和科学计算领域取得突破的读者提供宝贵的知识和工具。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的编辑质量，尤其是在术语一致性和符号规范上，达到了教科书级别的典范。在跨学科的教材中，符号混乱是常见的问题，但在这本书里，每一个希腊字母、每一个下标的含义都遵循着严格的约定，这极大地减少了在阅读过程中因符号歧义而产生的理解障碍。从头到尾，作者都坚持使用最清晰、最一致的数学语言来构建整个知识体系，这对于需要频繁引用或深入研究的读者来说，简直是莫大的福音。它避免了那种“一本正经地胡说八道”的现象，所有的推导都经得起推敲，逻辑链条完整无瑕。如果说一本好的技术书籍是建立在扎实的数学基础之上的，那么这本书无疑就是一座建立在坚实花岗岩上的知识殿堂，它的价值将经得起时间的考验，成为该领域未来数年内的重要参考资料。

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，这本书的难度门槛不低，它要求读者对高等数学和线性代数有扎实的背景，尤其是在接触到微分几何的基础概念时，初学者可能会感到吃力。但正是这种“不妥协”的态度，使得它在内容上保持了极高的专业水准。我尝试对照着其他几本经典的优化教材来看，这本书的独特之处在于其对“正定性”和“曲率”在优化算法收敛性证明中的作用进行了细致的探讨。它没有回避那些技术细节，反而将其作为阐述核心思想的关键点。举个例子，书中关于Hessian矩阵在黎曼度量下的定义和使用，远比一般教科书上停留于二阶导数的形式要严谨得多，这直接影响到牛顿法的收敛速度和稳定性分析。对于那些已经掌握了基础优化理论，希望冲击更高研究领域，比如非凸优化或受约束优化前沿的学者而言，这本书就像是一把开启新大门的钥匙，虽然过程需要费一番力气去磨砺，但一旦入门，视野将完全不同。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面那种哑光的质感和深邃的靛蓝色调，立刻给人一种沉稳而前沿的专业感，完全不是那种市面上常见的、花里胡哨的教材封面。内页的排版也是极其考究，字体选择上明显偏向于清晰易读的无衬线字体，即便是面对那些冗长复杂的公式推导，眼睛也不会感到太大的疲劳。更值得称赞的是，作者在章节结构上的把控，逻辑线索异常清晰，从基础的黎曼几何概念引入，到具体的优化算法在高维空间中的应用，过渡得非常自然，就像是带领读者进行一次精心规划的数学徒步旅行。我尤其欣赏它在图示和插图上的处理，很多抽象的概念，比如切空间和测地线的可视化，都通过高质量的图形得到了很好的阐释，这对于理解那些纯粹依赖文字描述的理论部分，简直是至关重要的一剂良药。总而言之，光是翻阅这本书，就足以感受到编辑团队和作者在呈现这部作品时付出的巨大心血，它不仅仅是一本知识的载体，更像是一件精美的工艺品，让人忍不住想反复摩挲和研读。

评分☆☆☆☆☆

我一直都在寻找一本能真正深入浅出地讲解非线性优化，特别是那些涉及约束条件的复杂问题的书籍，而这本书的理论深度和广度超乎了我的预期。它没有停留在传统的欧几里得空间视角，而是将视角提升到了更具几何意义的流形之上，这一点非常关键。比如，在讨论信赖域方法时，作者并没有仅仅给出算法步骤，而是深入剖析了为什么在弯曲空间中，我们必须依赖指数映射和对数映射来定义步长和搜索方向，这种对“为什么”的强调，极大地增强了读者的直觉理解。书中对拉格朗日乘子法在流形上的推广讨论得尤为精妙，它巧妙地结合了张量分析，使得那些原本晦涩难懂的条件得以清晰地呈现。对于从事机器人运动规划或数据拟合领域的工程师来说，这本书提供的数学框架是颠覆性的，它教会我们如何用更“自然”的语言去描述系统的演化，而不是强行将其扭曲到平坦的空间中去分析。这份深刻的洞察力，绝对是这本书最大的价值所在。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，更像是一场与顶尖数学家的深度对话，而不是简单的知识单向灌输。我特别欣赏作者在每章末尾设置的“历史与展望”部分。这些小节不仅追溯了某些关键算法的起源，比如早期的梯度下降法是如何在曲面上被重新定义的，还对未来可能的研究方向进行了富有启发性的预测。这种叙事手法极大地提升了阅读的沉浸感，它让读者感觉到自己正在参与一个鲜活的、不断发展的研究领域。此外，书中对算法的描述往往是双重的：既有严格的数学定义，紧接着就有对应到具体计算实现的伪代码，这种“理论—实践”的并置处理，使得理论不再是空中楼阁。我甚至动手尝试用它提供的框架去重写了一些现有的数值模拟代码，发现基于流形的结构，某些问题的计算效率和精度确实得到了肉眼可见的提升，这证明了其理论的强大实用价值。

评分☆☆☆☆☆

对流形部分的基础知识介绍很不错，像我这种没学过微分流形的人也能勉强读懂。凸优化部分的理论我没有细看。书中提到的几个算法倒也讲的很仔细，可以当成一本不错的工具书，试不试翻一翻找点灵感啥的。

评分☆☆☆☆☆