齣版者的話
譯者序
前言
第1章基礎:邏輯和證明
1.1命題邏輯
1.1.1引言
1.1.2命題
1.1.3條件語句
1.1.4復閤命題的真值錶
1.1.5邏輯運算符的優先級
1.1.6翻譯語句
1.1.7係統規範說明
1.1.8布爾檢索
1.1.9邏輯難題
1.1.10邏輯運算和位運算
練習
1.2命題等價
1.2.1引言
1.2.2邏輯等價
1.2.3德摩根律的運用
1.2.4構建新的邏輯等價式
練習
1.3謂詞和量詞
1.3.1引言
1.3.2謂詞
1.3.3量詞
1.3.4其他量詞
1.3.5約束論域量詞
1.3.6量詞的優先級
1.3.7綁定變量
1.3.8涉及量詞的邏輯等價
1.3.9否定量化錶達式
1.3.10翻譯語句為邏輯錶達式
1.3.11在係統說明中運用量詞
1.3.12選自Lewis Carroll的例子
1.3.13邏輯程序設計
練習
1.4嵌套量詞
1.4.1引言
1.4.2量詞的順序
1.4.3將數學語句翻譯成涉及嵌套量詞的語句
1.4.4將嵌套量詞翻譯為漢語
1.4.5將漢語語句翻譯成邏輯錶達式
1.4.6否定嵌套量詞
練習
1.5推理規則
1.5.1引言
1.5.2命題邏輯的有效論證
1.5.3命題邏輯的推理規則
1.5.4用推理規則建立論證
1.5.5消解
1.5.6謬誤
1.5.7帶量詞命題的推理規則
1.5.8命題推理和量化語句推理規則的結閤
練習
1.6證明導論
1.6.1引言
1.6.2一些專用術語
1.6.3定理陳述的理解
1.6.4證明定理的方法
1.6.5直接證明
1.6.6反證法
1.6.7歸謬證明
1.6.8證明中的錯誤
1.6.9僅僅是開始
練習
1.7證明的方法和策略
1.7.1引言
1.7.2窮舉證明和分情形證明
1.7.3存在性證明
1.7.4唯一性證明
1.7.5證明策略
1.7.6尋找反例
1.7.7行動證明策略
1.7.8填充
1.7.9未解決問題的作用
1.7.10其他證明方法
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第2章基本結構：集閤、函數、數列與求和
2.1集閤
2.1.1引言
2.1.2冪集閤
2.1.3笛卡兒積
2.1.4使用帶量詞的集閤符號
2.1.5量詞的真值集閤
練習
2.2集閤運算
2.2.1引言
2.2.2集閤恒等式
2.2.3擴展的並集和交集
2.2.4計算機錶示集閤的方式
練習
2.3函數
2.3.1引言
2.3.2一對一函數和映上函數
2.3.3反函數和函數組閤
2.3.4函數的圖像
2.3.5幾個重要的函數
練習
2.4序列與求和
2.4.1引言
2.4.2序列
2.4.3特殊的整數序列
2.4.4求和
2.4.5基數
練習
關鍵術語與結果
復習題
補充練習
計算機課題
計算和研究
寫作題目
第3章基礎：算法、整數和矩陣
3.1算法
3.1.1引言
3.1.2搜索算法
3.1.3排序
3.1.4貪心算法
3.1.5停機問題
練習
3.2函數的增長
3.2.1引言
3.2.2大O記號
3.2.3一些重要的大O結果
3.2.4函數組閤的增長
3.2.5大Ω與大Θ記號
練習
3.3算法的復雜度
3.3.1引言
3.3.2時間復雜度
3.3.3理解算法的復雜度
練習
3.4整數和除法
3.4.1引言
3.4.2除法
3.4.3帶餘除法
3.4.4同餘算術
3.4.5同餘應用
3.4.6密碼學
練習
3.5素數和最大公約數
3.5.1引言
3.5.2素數
3.5.3關於素數的猜想和一些未解決問題
3.5.4最大公約數和最小公倍數
練習
3.6整數和算法
3.6.1引言
3.6.2整數錶示
3.6.3整數運算算法
3.6.4同餘冪
3.6.5歐幾裏得算法
練習
3.7數論應用
3.7.1引言
3.7.2若乾有用的結果
3.7.3綫性同餘
3.7.4中國剩餘定理
3.7.5大整數計算機算術
3.7.6僞素數
3.7.7公鑰密碼學
3.7.8RSA密碼係統
3.7.9RSA加密
3.7.10RSA解密
3.7.11用RSA作為公鑰係統
練習
3.8矩陣
3.8.1引言
3.8.2矩陣算術
3.8.3矩陣乘法算法
3.8.4矩陣轉置和冪
3.8.501矩陣
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第4章歸納與遞歸
4.1數學歸納法
4.1.1引言
4.1.2數學歸納法
4.1.3利用數學歸納法證明的例子
4.1.4為什麼說數學歸納法是有效的
4.1.5使用數學歸納法時犯的錯誤
練習
4.2強歸納法與良序性
4.2.1引言
4.2.2強歸納法
4.2.3利用強歸納法證明的例子
4.2.4計算幾何學中使用強歸納法
4.2.5利用良序性證明
練習
4.3遞歸定義與結構歸納法
4.3.1引言
4.3.2遞歸地定義函數
4.3.3遞歸地定義集閤與結構
4.3.4結構歸納法
4.3.5廣義歸納法
練習
4.4遞歸算法
4.4.1引言
4.4.2證明遞歸算法的正確性
4.4.3遞歸與迭代
4.4.4歸並排序
練習
4.5程序正確性
4.5.1引言
4.5.2程序驗證
4.5.3推理規則
4.5.4條件語句
4.5.5循環不變量
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第5章計數
5.1計數的基礎
5.1.1引言
5.1.2基本的計數原則
5.1.3比較復雜的計數問題
5.1.4容斥原理
5.1.5樹圖
練習
5.2鴿巢原理
5.2.1引言
5.2.2廣義鴿巢原理
5.2.3巧妙使用鴿巢原理
練習
5.3排列與組閤
5.3.1引言
5.3.2排列
5.3.3組閤
練習
5.4二項式係數
5.4.1二項式定理
5.4.2帕斯卡恒等式和三角形
5.4.3其他的二項式係數恒等式
練習
5.5排列與組閤的推廣
5.5.1引言
5.5.2有重復的排列
5.5.3有重復的組閤
5.5.4具有不可區彆物體的集閤的排列
5.5.5把物體放入盒子
練習
5.6生成排列和組閤
5.6.1引言
5.6.2生成排列
5.6.3生成組閤
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第6章離散概率
6.1離散概率引論
6.1.1引言
6.1.2有限概率
6.1.3事件組閤的概率
6.1.4概率的推理
練習
6.2概率論
6.2.1引言
6.2.2概率指派
6.2.3事件的組閤
6.2.4條件概率
6.2.5獨立性
6.2.6伯努利試驗與二項分布
6.2.7隨機變量
6.2.8生日問題
6.2.9濛特卡羅算法
6.2.10概率方法
練習
6.3貝葉斯定理
6.3.1引言
6.3.2貝葉斯定理
6.3.3貝葉斯spam過濾器
練習
6.4期望值和方差
6.4.1引言
6.4.2期望值
6.4.3期望的綫性性質
6.4.4平均情形下的計算復雜度
6.4.5幾何分布
6.4.6獨立隨機變量
6.4.7方差
6.4.8切比雪夫不等式
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第7章高級計數技術
7.1遞推關係
7.1.1引言
7.1.2遞推關係
7.1.3用遞推關係構造模型
練習
7.2求解綫性遞推關係
7.2.1引言
7.2.2求解常係數綫性齊次遞推關係
7.2.3常係數綫性非齊次的遞推關係
練習
7.3分治算法和遞推關係
7.3.1引言
7.3.2分治遞推關係
練習
7.4生成函數
7.4.1引言
7.4.2關於冪級數的有用事實
7.4.3計數問題與生成函數
7.4.4使用生成函數求解遞推關係
7.4.5使用生成函數證明恒等式
練習
7.5容斥
7.5.1引言
7.5.2容斥原理
練習
7.6容斥原理的應用
7.6.1引言
7.6.2容斥原理的另一種形式
7.6.3埃拉托色尼篩
7.6.4映上函數的個數
7.6.5錯位排列
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第8章關係
8.1關係及其性質
8.1.1引言
8.1.2函數作為關係
8.1.3集閤的關係
8.1.4關係的性質
8.1.5關係的組閤
練習
8.2n元關係及其應用
8.2.1引言
8.2.2n元關係
8.2.3數據庫和關係
8.2.4n元關係的運算
8.2.5SQL
練習
8.3關係的錶示
8.3.1引言
8.3.2用矩陣錶示關係
8.3.3用圖錶示關係
練習
8.4關係的閉包
8.4.1引言
8.4.2閉包
8.4.3有嚮圖的路徑
8.4.4傳遞閉包
8.4.5沃捨爾算法
練習
8.5等價關係
8.5.1引言
8.5.2等價關係
8.5.3等價類
8.5.4等價類與劃分
練習
8.6偏序
8.6.1引言
8.6.2字典順序
8.6.3哈塞圖
8.6.4極大元素與極小元素
8.6.5格
8.6.6拓撲排序
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第9章圖
9.1圖和圖模型
練習
9.2圖的術語和幾種特殊的圖
9.2.1引言
9.2.2基本術語
9.2.3一些特殊的簡單圖
9.2.4偶圖
9.2.5特殊類型的圖的一些應用
9.2.6從舊圖到新圖
練習
9.3圖的錶示和圖的同構
9.3.1引言
9.3.2圖的錶示
9.3.3鄰接矩陣
9.3.4關聯矩陣
9.3.5圖的同構
練習
9.4連通性
9.4.1引言
9.4.2通路
9.4.3無嚮圖的連通性
9.4.4有嚮圖的連通性
9.4.5通路與同構
9.4.6計算頂點之間的通路數
練習
9.5歐拉通路與哈密頓通路
9.5.1引言
9.5.2歐拉通路與歐拉迴路
9.5.3哈密頓通路與哈密頓迴路
練習
9.6最短通路問題
9.6.1引言
9.6.2最短通路算法
9.6.3旅行商問題
練習
9.7可平麵圖
9.7.1引言
9.7.2歐拉公式
9.7.3庫拉圖斯基定理
練習
9.8圖著色
9.8.1引言
9.8.2圖著色的應用
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第10章樹
10.1概述
10.1.1樹作為模型
10.1.2樹的性質
練習
10.2樹的應用
10.2.1引言
10.2.2二叉搜索樹
10.2.3決策樹
10.2.4前綴碼
10.2.5博弈樹
練習
10.3樹的遍曆
10.3.1引言
10.3.2通用地址係統
10.3.3遍曆算法
10.3.4中綴、前綴和後綴記法
練習
10.4生成樹
10.4.1引言
10.4.2深度優先搜索
10.4.3寬度優先搜索
10.4.4迴溯
10.4.5有嚮圖中的深度優先搜索
練習
10.5最小生成樹
10.5.1引言
10.5.2最小生成樹算法
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第11章布爾代數
11.1布爾函數
11.1.1引言
11.1.2布爾錶達式和布爾函數
11.1.3布爾代數恒等式
11.1.4對偶性
11.1.5布爾代數的抽象定義
練習
11.2布爾函數的錶示
11.2.1積之和展開式
11.2.2函數完全性
練習
11.3邏輯門電路
11.3.1引言
11.3.2門的組閤
11.3.3電路的例子
11.3.4加法器
練習
11.4電路的極小化
11.4.1引言
11.4.2卡諾圖
11.4.3無需在意的條件
11.4.4奎因莫可拉斯基方法
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
第12章計算模型
12.1語言和文法
12.1.1引言
12.1.2短語結構文法
12.1.3短語結構文法的類型
12.1.4派生樹
12.1.5巴剋斯諾爾範式
練習
12.2帶輸齣的有限狀態機
12.2.1引言
12.2.2帶輸齣的有限狀態機
練習
12.3不帶輸齣的有限狀態機
12.3.1引言
12.3.2串的集閤
12.3.3有限狀態自動機
12.3.4有限狀態機的語言識彆
12.3.5非確定型有限狀態自動機
練習
12.4語言的識彆
12.4.1引言
12.4.2正則集閤
12.4.3剋萊因定理
12.4.4正則集閤和正則文法
12.4.5一個不能由有限狀態自動機識彆的集閤
12.4.6一些更強大的機器
練習
12.5圖靈機
12.5.1引言
12.5.2圖靈機的定義
12.5.3用圖靈機識彆集閤
12.5.4用圖靈機計算函數
12.5.5不同類型的圖靈機
12.5.6丘奇圖靈論題
12.5.7計算復雜度、可計算性和可判定性
練習
關鍵術語和結果
復習題
補充練習
計算機題目
計算和研究
寫作題目
附錄A實數和正整數公理
附錄B指數函數和對數函數
附錄C僞代碼
推薦讀物
參考文獻
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