特殊函数

出版者:清华大学出版社

作者:[美] 安德鲁斯

页数:664

出版时间:2004-8

价格:88.00元

装帧:平装

isbn号码:9787302090892

丛书系列:天元基金影印系列丛书

具体描述

Special functions, natural generalizations of the elementary functions, have been studied for centuries. The greatest mathematicians, among them Euler, Gauss, Legendre, Eisenstein, Riemann, and Ramanujan, have laid the foundations for this beautiful and useful area of mathematics. For instance, Euler found the gamma function, which extends the factorial. The Bessel functions and Legendre polynomials play a role in three dimensions similar to the role of sine and cosine in two dimensions. This treatise presents an overview of special functions, focusing primarily on hypergeometric functions and the associated hypergeometric series, including Bessel functions and classical orthogonal polynomials. The basic building block of the functions studied in this book is the gamma function. In addition to relatively new work on gamma and beta functions, such as Selberg’s multidimensional integrals, a number of important but relatively unknown nineteenth century results are included. The authors discuss Wilson’s beta integral and the associated orthogonal polynomials. Someｑ-extensions of beta integrals and of hypergeometric series are presented with Bailey chains employed to derive some results. An introduction to spherical harmonics and applications of special functions to combinatorial problems are included. The book also desls with finite field versions of some beta integrals.

The authors provide organizing ideas, motivation, and historical backgroud for the study and application of some important special functions. This clearly expressed and readable work can serve as a learning tool and lasting reference for students and researchers in special functions, mathematical physics, differential equations, mathematical computing, number theory, and combinatorics.

用户评价

《特殊函数》这本书，可以说是我近期阅读中最具启发性的一本书籍之一。它不仅填补了我知识体系中的一些空白，更重要的是，它改变了我对数学的看法。在此之前，我一直认为数学就是那些我们熟悉的加减乘除、方程和几何图形，而这本书则向我展示了一个更为广阔、更为精密的数学世界，一个由“特殊函数”构建的世界。我尤其对书中关于克拉姆方程和克拉姆行列式的介绍印象深刻，这些工具在解决线性方程组时尤为有用，而一些特殊函数，比如多项式和某些积分，常常会出现在这些行列式中，从而简化了计算。作者的讲解方式非常具有条理性，他从最基础的概念开始，逐步深入到复杂的理论和应用。他对于每一个函数的推导都力求严谨，并且总是能够给出一些经典的例子来展示这些函数在现实世界中的应用，比如在信号处理领域， sinc 函数（归一化正弦函数）的应用就非常广泛，它在数字滤波和采样定理中起着核心作用。这本书不仅仅是知识的集合，更是一种学习的范式，它鼓励我去主动思考，去探索，去发现数学之美。它让我意识到，学习数学不是终点，而是一个不断探索的过程。

对于《特殊函数》这本书，我只能用“相见恨晚”来形容我的感受。在之前的学习中，我经常会遇到一些看似棘手的问题，这些问题往往需要一些“非标准”的数学工具来解决，而这些工具，正是这本书所要介绍的“特殊函数”。书中对于各种特殊函数的引入，不仅仅是给出它们的定义，更重要的是阐述了它们在不同科学领域中出现的普遍性和重要性。我尤其对书中关于函数卷积的讨论印象深刻。卷积，作为一种重要的积分运算，在信号处理、概率论、图像处理等众多领域都扮演着核心角色，而许多特殊函数，比如高斯函数，在卷积运算中表现出独特的性质，能够简化计算并揭示问题的本质。作者的讲解方式非常细致，他能够将复杂的数学概念分解成易于理解的步骤，并且通过丰富的例子来加深读者的印象。例如，在介绍傅里叶变换时，书中将它与特殊函数如指数函数和三角函数联系起来，展示了如何用这些函数来表示和分析更复杂的信号。这本书不仅仅是知识的堆砌，更是一种学习的方法论，它教会我如何去观察、去分析、去建模，以及如何去运用数学工具解决实际问题。它让我对数学的看法，从“抽象”变得“实用”，从“遥远”变得“贴近”。

这本书，名为《特殊函数》，着实让我陷入了一种沉思，一种关于数学世界深邃奥秘的沉思。初翻开它，我便被其严谨的逻辑和精密的推导所吸引。书中对于“特殊函数”的定义和分类，并非是枯燥的条目罗列，而是带着一种探索的温度，仿佛作者正带领我穿梭于数学的迷宫，一步步揭示那些隐藏在看似复杂符号背后的优雅与规律。例如，关于贝塞尔函数的讨论，不仅仅是介绍它的定义式和性质，更是深入剖析了它在物理学各个领域中的应用，从电磁波的传播到热传导的问题，再到量子力学的某些模型，都离不开它的身影。作者的讲解方式，如同循循善诱的老师，即便是在我初次接触这些概念时，也能感受到一种清晰的脉络。书中的每一个公式，都仿佛是作者精心打磨的宝石，闪烁着智慧的光芒，而每一个定理的证明，则像是精巧的建筑，牢固而美丽。我尤其喜欢书中关于函数收敛性的讨论，它不仅仅是数学上的严谨性要求，更是理解函数行为的关键。读完关于勒让德函数的章节，我仿佛能看到一个宏大的物理世界在眼前徐徐展开，它与球谐函数结合，构成了描述三维空间中许多现象的基础。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪，它让我学会如何从抽象的数学语言中提炼出事物的本质，如何运用数学工具去解决现实世界中的问题。它让我更加敬畏数学的博大精深，也更加坚定了我继续探索的决心。

拿到《特殊函数》这本书，我感觉自己像是进入了一个数学的“百花园”，里面盛开着各种形态各异、功效奇特的“数学之花”。我之所以会被这本书吸引，是因为我在解决一些物理和工程问题时，经常会遇到一些超出基本函数范畴的难题，而这些难题的解决往往离不开“特殊函数”。书中对各种特殊函数的介绍，不仅仅是给出它们的定义式和性质，更重要的是详细阐述了它们在不同科学研究领域中的应用，比如在统计物理学中，高斯函数和其导数（Hermite polynomials）就扮演着关键角色，它们是描述玻尔兹曼分布及其涨落的重要工具。作者的写作风格非常细腻，他能够将一些非常抽象和复杂的数学概念，通过清晰的逻辑和生动的例子来呈现，让读者能够循序渐进地理解。我特别欣赏书中对函数积分表示法的讲解，这些表示法往往能够揭示函数的深层结构和内在联系，并且方便进行各种数学运算。读完关于 Gamma 函数的章节，我不仅理解了它如何推广了阶乘的概念，还感受到了它在各种数学公式和理论中的无处不在。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪，它让我学会如何去“看”数学，如何去“用”数学，以及如何去“爱”数学。

《特殊函数》这本书，我可以说它是为我量身定做的，或者说，它恰好填补了我学习数学过程中一直存在的某个重要空白。一直以来，我总觉得数学学习到一个阶段后，会遇到一些“瓶颈”，一些看似无法逾越的难题，而这些难题的解决往往需要一些非同寻常的数学工具，这本书恰好提供了这些工具。书中对各种特殊函数的系统性介绍，让我第一次清晰地认识到，数学并非只有那些我们中学时期就耳熟能详的基本函数，还有着一个更为广阔、更为精密的函数世界。我特别被书中关于贝塞尔函数和其随量方程的讨论所吸引。这个方程在描述许多波动现象时都异常重要，而其解——贝塞尔函数，也因此显得格外有魅力。作者不仅详细介绍了不同类型的贝塞尔函数（第一类、第二类、修正贝塞尔函数等），还阐述了它们在物理学中扮演的角色，例如在声学、光学和电磁学中的应用。这种深入浅出的讲解方式，让我能够理解这些抽象数学概念的实际意义。我特别欣赏书中对这些函数性质的推导，每一步都严谨而有逻辑，读起来让人感到赏心悦目。这本书不仅仅是关于“函数”，更是关于“方法”——如何去研究、去理解、去应用那些我们不熟悉的数学对象。它让我对数学的敬畏之心又增添了几分，也让我意识到，探索数学的旅程永无止境。

拿到《特殊函数》这本书，我的第一反应是它看起来相当“硬核”。然而，当我真正沉浸其中时，我发现它所蕴含的逻辑之美和应用之广，足以让任何对科学原理感兴趣的人着迷。这本书对于“特殊函数”的定义和分类，并非是冰冷的数学公式堆砌，而是充满了历史的沉淀和应用的需求。作者在介绍每一种特殊函数时，都会追溯其产生的历史背景，以及它在解决具体科学问题中所起的关键作用。例如，关于球谐函数的章节，详细阐述了它在描述三维空间中各向同性问题时的不可替代性，从行星轨道的计算到地球物理学的研究，都有它的身影。这种“情境化”的学习方式，让我觉得数学不再是孤立的学问，而是与我们所处的世界息息相关。我尤其对书中关于函数递推关系的讨论印象深刻，这些关系就像是函数之间的“DNA”，描述了它们如何相互联系、相互生成。理解这些递推关系，就如同掌握了打开函数家族宝藏的钥匙。作者的语言风格非常流畅，即使是处理一些非常复杂的数学推导，也能做到清晰明了，让人能够循序渐进地理解。这本书不仅仅提供了知识，更是一种学习的范式，它鼓励我去思考“为什么”，而不是仅仅记住“是什么”。

《特殊函数》这本书，在我看来，是一次深入数学“内功”的修炼之旅。我一直对那些能够解决实际问题的数学工具有着浓厚的兴趣，而这本书恰恰满足了我的这个愿望。书中对“特殊函数”的系统性介绍，让我看到了数学的精妙之处，也看到了数学解决问题的强大能力。我特别被书中关于超球函数的讨论所吸引。超球函数，作为球谐函数的推广，在更高维度空间中的物理问题研究中扮演着重要角色，例如在量子场论和统计力学中。作者对超球函数的性质、递推关系以及其与多种积分变换的联系进行了详细阐述，这让我对高维空间的数学描述有了更深刻的认识。他的写作风格，可以说是既严谨又不失趣味，在讲解复杂的推导过程时，总能穿插一些历史轶事或者思想的启发，让阅读过程不那么枯燥。我甚至觉得，这本书不仅仅是关于“函数”本身，更是关于“函数”背后的“数学思想”。它让我理解了，为什么数学家们会创造出这些“特殊”的函数，它们是如何与自然规律相契合的。它也让我意识到，在学习数学的过程中，掌握这些“内功心法”是多么的重要。

《特殊函数》这本书，给我的感觉就像是在攀登一座知识的高峰，每一步都充满了挑战，但也带来了无与伦比的视野。我必须承认，一开始我对“特殊函数”这个概念感到一丝茫然，它听起来似乎只是一些数学家为解决特定问题而创造出来的“怪胎”。然而，随着阅读的深入，我逐渐意识到，这些“特殊函数”并非孤立的存在，它们如同数学世界的基石，支撑着我们理解和描述这个世界的各种现象。书中的介绍，从早期的积分变换，到后来的特殊积分，再到各种超越方程的解，都展现了一种数学发展过程中必然的演进逻辑。我特别对书中关于 Gamma 函数的阐述印象深刻，它将阶乘的概念推广到了复数域，这本身就是一项多么了不起的成就！而它的性质，比如欧拉积分表示，以及它与 Beta 函数的关系，都让我看到了数学的统一性和内在的联系。作者在讲解过程中，并没有回避复杂的证明，而是以一种相对直观的方式来引导读者，即使是一些比较抽象的概念，也能通过具体的例子和类比来理解。比如，在介绍 Airy 函数时，书中展示了它如何描述光波在近距离衍射的现象，这种将抽象数学模型与具体物理现象相结合的讲解方式，极大地增强了我对内容的理解和兴趣。这本书不只是为数学专业人士准备的，对于任何对科学和数学抱有好奇心的人来说，它都是一次宝贵的启蒙。它让我看到了数学的实用性，也让我看到了数学本身的优雅。

《特殊函数》这本书，在我看来，是一部数学的“工具箱”与“哲学思考”的完美结合体。初拿到这本书，我被其厚重的篇幅和繁多的符号所震撼，但随即而来的好奇心驱使我开始探索。它所介绍的“特殊函数”，在我以往的学习过程中，只是一些零散的概念，零星地出现在各个学科的教材中，而这本书则将它们系统地梳理和整合了起来。我特别被书中关于椭圆函数及其性质的详细讲解所吸引。椭圆函数，因其与椭圆周长计算的联系而得名，其周期性和相关的微分方程，展现了数学的深刻内涵。作者不仅介绍了雅可比椭圆函数，还阐述了其在数论、代数几何等领域的广泛应用，这让我看到了数学不同分支之间的奇妙联系。阅读的过程，更像是一场数学的“考古”，每一次对一个函数的深入了解，都像是发现了一个古老的数学宝藏。作者的写作风格非常考究，他对每一个概念的解释都力求精确，每一个证明都力求严谨，但同时又不失启发性，总能在关键处给出巧妙的提示。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维的引导，它让我学会如何去建立数学模型，如何去分析模型的行为，以及如何去解释模型的含义。它让我对数学的理解，从“工具”上升到了“思维”。

我最近阅读了《特殊函数》这本著作，它如同一扇窗户，为我打开了通往更广阔数学世界的大门。我之所以选择阅读这本书，是因为我在工程领域的工作中，经常会遇到一些难以直接用基本函数来描述的问题，而这些问题往往与“特殊函数”有着千丝万缕的联系。书中对各种特殊函数的介绍，如埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等，都不仅仅是罗列它们的定义和性质，更重要的是阐述了它们出现的背景以及在具体问题中的应用。比如，在量子力学中，这些正交多项式扮演着至关重要的角色，它们是描述粒子在势场中运动的波函数的组成部分。作者的写作风格非常清晰，即使是对于一些我初次接触的概念，也能通过其详细的推导过程和丰富的示例来逐步理解。我尤其喜欢书中对超几何函数的讨论，它是一个非常庞大的函数族，许多其他的特殊函数都可以看作是它的特例，这让我深刻体会到了数学的系统性和层级性。理解超几何函数，就像掌握了一把万能钥匙，能够解锁更多数学问题。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的培养。它教会我如何去分析一个问题，如何去寻找合适的数学工具来解决它。我甚至开始在日常工作中，主动去寻找那些隐藏在复杂问题背后的“特殊函数”，并尝试运用书中学到的知识来解决它们，这给我带来了很大的成就感。

@2008-08-03 17:30:24

国外的数学一般写作都用一点修辞和比喻，挺好玩的。真正讲明白特殊函数2014.3.30：还是阅读了小谷正雄的《特殊函数》，这本书里有些过于呆板和复杂的证明，我才理解。其实关于欧拉函数的渐进展开完全可以放在最速下降法之后讲完斯特林公式再讲，本书的处理有点复杂化了；关于特殊函数的黎曼公式表示，我一直没有理解：其实要加入椭球坐标，再加入常微分方程的奇点理论，就ok

@2008-08-03 17:30:24

国外的数学一般写作都用一点修辞和比喻，挺好玩的。真正讲明白特殊函数2014.3.30：还是阅读了小谷正雄的《特殊函数》，这本书里有些过于呆板和复杂的证明，我才理解。其实关于欧拉函数的渐进展开完全可以放在最速下降法之后讲完斯特林公式再讲，本书的处理有点复杂化了；关于特殊函数的黎曼公式表示，我一直没有理解：其实要加入椭球坐标，再加入常微分方程的奇点理论，就ok

国外的数学一般写作都用一点修辞和比喻，挺好玩的。真正讲明白特殊函数2014.3.30：还是阅读了小谷正雄的《特殊函数》，这本书里有些过于呆板和复杂的证明，我才理解。其实关于欧拉函数的渐进展开完全可以放在最速下降法之后讲完斯特林公式再讲，本书的处理有点复杂化了；关于特殊函数的黎曼公式表示，我一直没有理解：其实要加入椭球坐标，再加入常微分方程的奇点理论，就ok