多维实分析（第1卷）

出版者:世界图书出版公司

作者:杜斯特马特

页数:422

出版时间:2009-8

价格:49.00元

isbn号码:9787510004520

具体描述

This book, which is in two parts, provides an introduction to the theory of vectorvalued functions on Euclidean space. We focus on four main objects of study and in addition consider the interactions between these. Volume I is devoted to differentiation. Differentiable functions on Rn come first, in Chapters I through 3. Next, differentiable manifolds embedded in Rn are discussed, in Chapters 4 and 5. In Volume II we take up integration. Chapter 6 deals with the theory of n-dimensional integration over Rn. Finally, in Chapters 7 and 8 lower-dimensional integration over submanifolds of Rn is developed; particular attention is paid to vector analysis and the theory of differential forms, which are treated independently from each other. Generally speaking, the emphasis is on geometric aspects of analysis rather than on matters belonging to functional analysis. ...

目录信息

volume i.
preface
acknowledgments
introduction
1 continuity
1.1 inner product and norm
1.2 open and closed sets
1.3 limits and continuous mappings
1.4 composition of mappings
1.5 homeomorphisms
1.6 completeness
1.7 contractions
1.8 compactness and uniform continuity
1.9 connectedness
2 differentiation
2.1 linear mappings
2.2 differentiable mappings
2.3 directional and partial derivatives
2.4 chain rule
2.5 mean value theorem
.2.6 gradient
2.7 higher-order derivatives
2.8 taylor's formula
2.9 critical points
2.10　commuting limit operations
3 inverse function and implicit function theorems
3.1 diffeomorphisms
3.2 inverse function theorems
3.3 applications oflnverse function theorems
3.4 implicitly defined mappings
3.5 implicit function theorem
3.6 applications of the implicit function theorem
3.7 implicit and inverse function theorems on c
4 manifolds
4.1 introductory remarks
4.2 manifolds
4.3 immersion theorem
4.4 examples of immersions
4.5 submersion theorem
4.6 examples of submersions
4.7 equivalent definitions of manifold
4.8 morse's lemma
5　tangent spaces
5.1 definition of tangent space
5.2 tangent mapping
5.3 examples of tangent spaces
5.4 method of lagrange multipliers
5.5 applications of the method of multipliers
5.6 closer investigation of critical points
5.7 gaussian curvature of surface
5.8 curvature and torsion of curve in r3
5.9 one-parameter groups and infinitesimal generators
5.10 linear lie groups and their lie algebras
5.11 transversality
exercises
review exercises
exercises for chapter 1
exercises for chapter 2
exercises for chapter 3
exercises for chapter 4
exercises for chapter 5
notation
index
· · · · · · (收起)

用户评价

读《多维实分析（第1卷）》这本书，就如同开启了一扇通往更深邃数学殿堂的大门。我是一名长年浸淫在理论物理研究中的学生，深知多维空间在描述自然现象中的重要性。书中对**勒贝格积分**的引入和发展，将是我最为关注的部分之一。 我非常好奇作者将如何将勒贝格积分的理论框架，从一维实数轴扩展到多维的测度空间。例如，**可测函数**的定义，**简单函数**和**单调类定理**在高维空间中的作用，以及**勒贝格积分**的性质，如线性性、单调性、可列可加性等。 更重要的是，我希望书中能详细阐述**勒贝格控制收敛定理**和**Fatou引理**在高维积分中的应用。这些定理是处理积分与极限交换的关键，在物理学中，它们经常出现在量子力学、统计力学等领域，用于处理复杂的概率分布和积分方程。 我期待书中能够提供足够严谨的证明，同时又不失清晰的逻辑和必要的直观解释。例如，通过一些经典的例子，如狄利克雷函数或巴兰克函数，来展示勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性。

“多维实分析”，单是这几个字，就已经在我心中激起了层层涟漪。我是一名热衷于数学理论的学习者，深知理解多维空间中的分析学原理，是通往更深奥数学知识的必由之路。《多维实分析（第1卷）》这个书名，就预示着我将要开始一场引人入胜的数学之旅。 我非常期待书中能对**集合论**和**度量空间**有一个清晰且严谨的介绍。在我看来，多维分析的基础在于对高维空间中点集结构的深刻理解。我希望书中能详细阐述**邻域、开集、闭集、紧集**等基本概念在高维欧氏空间中的定义和性质。 我尤其关注书中对于**收敛性**的讨论，特别是**点列收敛**和**函数列一致收敛**在高维空间中的表现。我希望书中能详尽解释**Cauchy列**的概念，以及**完备性**在高维空间分析中的重要作用。 此外，对于**函数空间**的初步介绍，也将是我非常期待的内容。比如，连续函数空间，以及它们所具备的代数结构和拓扑结构。我希望书中能通过一些具体的例子，帮助我理解这些抽象概念的内涵。

《多维实分析（第1卷）》这个书名，唤醒了我对数学深层逻辑的探索欲望。我是一名对抽象数学结构情有独钟的学生，我深信多维分析是理解更广泛数学概念的基础。 我迫切地想知道书中将如何处理**度量空间**和**拓扑空间**的理论。我期待作者能够清晰地阐述**开集、闭集、紧集**在高维空间中的定义和性质。例如，**Heine-Borel定理**在多维空间中的推广，以及它在证明某些分析性质时的重要性。 我非常关注书中对**收敛性**的讨论，特别是**序列收敛**和**函数序列一致收敛**在高维空间中的微妙之处。我希望能看到书中对**Cauchy序列**和**完备性**的深入分析，以及它们与**完备度量空间**之间的关系。 此外，我对于**函数空间的性质**也充满好奇。在高维空间中，函数的集合本身可以构成一个空间，我期待书中能对一些重要的函数空间，如C(K)（紧集K上的连续函数空间）进行初步的介绍，并讨论它们的拓扑结构和代数结构。

单单是“多维实分析”这个书名，就足以勾起我内心深处的求知欲。多年来，我一直在寻找一本能够系统而深入地阐述多维空间中分析学精髓的书籍，《多维实分析（第1卷）》似乎正是为此而生。我迫不及待地想知道作者将如何构建和阐述**隐函数定理**和**反函数定理**。 这两个定理在解决复杂的方程组和理解函数局部性质方面至关重要。在高维空间中，它们的表述和证明都会更加精妙。我期待书中能够从直观几何的角度出发，解释这些定理的含义，比如隐函数定理是如何保证在一个约束条件下，仍然可以定义一个或多个变量作为其他变量的函数的。 反函数定理又是如何保证一个可微函数在其局部具有可逆性的？我希望书中能够提供严谨的证明，并且详细分析这些定理的应用，例如在坐标变换、参数化曲线和曲面等问题中。 我尤其关心书中是否会涉及**Jacobian矩阵**的概念，以及它在反函数定理中的作用。Jacobian矩阵的行列式，即**Jacobian行列式**，在高维积分的变量替换中扮演着至关重要的角色，我期待书中能够对此进行详细的讲解和演示。

作为一名对数学有着执着追求的学习者，《多维实分析（第1卷）》这个书名本身就散发着一种难以言喻的魅力。我一直在寻找一本能够系统地梳理和深化我对实分析理解的书籍，而“多维”二字，预示着一场更广阔、更深刻的数学探索。 我特别期待书中能够对**曲面**和**高维流形**上的分析进行初步的介绍。虽然这是第一卷，但我希望能够看到一些引人入胜的章节，能够勾勒出这些更高级概念的轮廓。例如，如何定义曲面上的**切空间**，以及如何在高维空间中进行**积分**，例如对参数化曲面进行积分。 书中关于**微分形式**的引入，将是我非常感兴趣的部分。微分形式是研究高维几何和拓扑的强大工具，我希望能够初步了解它们的定义、外微分、以及它们与梯度、散度、旋度等算子之间的联系。 我期待书中能够提供一些关于**黎曼几何**的启蒙式介绍，即便只是点到为止，也能够让我窥见高维几何分析的深邃之处。例如，曲率的概念，以及它在高维空间中的表现形式。

《多维实分析（第1卷）》这个书名本身就带着一股强大的吸引力，对于我这样一个渴望深入理解数学本质的人来说，它简直是不可抗拒的诱惑。我特别想知道作者是如何处理**多元函数的可微性**这一核心概念的。 我期待书中能够清晰地介绍**偏导数**和**方向导数**的定义，以及它们与**梯度**之间的关系。更重要的是，我希望书中能够深入探讨**可微性**的定义，以及它与偏导数存在之间的区别和联系。**全微分**的概念在高维空间中扮演着怎样的角色？ 我尤其关注书中对**链式法则**的讨论。在多变量函数复合的情况下，链式法则的推广会变得相当复杂，我希望作者能给出清晰的推导和应用实例。比如，一个函数依赖于多个变量，而这些变量本身又是另外一组变量的函数，那么最外层函数的导数将如何计算？ 此外，我对于**二阶偏导数**及其**混合偏导数**的性质也很感兴趣。**Schwarz定理**（混合偏导数连续可交换）在高维空间中的证明和应用，将是这本书中我非常期待的内容。

《多维实分析（第1卷）》这个书名，对我而言，就像是数学领域的一颗璀璨的明珠，吸引着我深入其中，探寻未知。我是一名对数学理论充满热情的学生，我渴望能够掌握处理复杂数学问题的强大工具。 我特别期待书中对**多元函数的极限**的讨论。如何在高维空间中定义函数的极限？**ε-δ定义**在高维空间中的表述会有哪些变化？我希望书中能够提供各种各样的例子，来帮助我理解在不同路径下函数值趋近于同一个值，以及函数值趋近于无穷大的情况。 我对于**多变量函数的连续性**也充满好奇。连续性在高维空间中的表现会更加丰富。我希望能看到书中对**连续函数在紧集上的性质**的讨论，例如**有界性**和**一致连续性**。 此外，书中关于**多重积分**的介绍，将是我关注的重点。如何定义**多重积分**，特别是**黎曼可积性**在高维空间中的条件？我期待书中能够详细介绍**变量代换公式**（Jacobi公式），以及它在计算多重积分时的重要性。

翻开《多维实分析（第1卷）》，首先映入眼帘的是那份厚重感，仿佛预示着即将展开的知识海洋。作为一个对数学充满好奇心的学习者，我对“多维”这个概念总是带着一丝敬畏和向往。单变量的实分析已经足够精妙，而将这一切拓展到高维空间，其复杂性和美妙之处更是难以想象。我迫切地想知道作者是如何构建这个宏大的理论框架的。 我特别期待书中对**度量空间**和**拓扑空间**的介绍。高维空间最基础的属性之一就是距离和邻域的概念，这两者是如何在高维空间中被形式化，又如何影响着我们对收敛、连续性等概念的理解？我希望作者能够清晰地解释这些抽象概念的直观意义，并提供一些生动的例子，比如球面、环面等非欧式空间的拓扑性质。 此外，书中对**函数序列和函数级数**的讨论也至关重要。在高维空间中，点集的复杂性大大增加，这是否会给函数序列的一致收敛带来新的挑战？作者将如何处理这些问题，例如一致收敛与逐点收敛之间的关系，以及它们与可积性、可微性之间的联系？我尤其关心**Weierstrass M-test**在高维空间中的应用和泛化。

《多维实分析（第1卷）》这个书名，对我而言，不仅仅是一本书的名字，更是一种学术上的召唤。我是一名物理系的学生，深知在现实世界中，我们所处的空间远不止三维，而数学正是描述这一切的语言。我特别期待书中关于**向量微积分**的内容。 我希望作者能系统地介绍**向量场**的概念，包括标量场和向量场的区别，以及它们在物理学中的应用，例如速度场、力场等。书中对**梯度**、**散度**和**旋度**的定义和计算，将是我关注的重点。我期待这些概念能得到清晰的几何解释，而不仅仅是公式的堆砌。 更重要的是，我希望书中能深入讲解**向量积分**，特别是**线积分**和**面积分**。我非常期待书中能够包含**格林公式**、**斯托克斯公式**和**高斯散度定理**等关键定理的详细推导和应用。这些定理是连接不同维度积分和微分算子的桥梁，在电磁学、流体力学等领域有着广泛的应用。 我希望能看到书中通过具体的物理问题来阐释这些定理，例如计算通过曲面的磁通量，或者计算一个封闭曲线上的功。清晰的图示和直观的解释将对我理解这些抽象的概念至关重要。

这本书的名字就足够吸引人了——《多维实分析（第1卷）》。作为一个多年在数学领域摸爬滚打的读者，我总是对那些能够深入挖掘数学本质的书籍怀有特别的期待。这个书名本身就预示着一场对高维空间中函数行为的深度探索，这是一种既令人兴奋又充满挑战的旅程。我迫不及待地想知道作者将如何构建这个多维的世界，如何将那些我们在单变量分析中熟悉的工具——极限、连续性、导数、积分——拓展到更加复杂、更加抽象的设定中。 我特别好奇书中会对“多维”这个概念进行怎样的定义和阐释。是在欧几里得空间R^n的框架下进行讨论，还是会涉及更一般的向量空间？对于像法向导数、梯度、散度、旋度这样的基本概念，作者将如何引入和解释？我期待书中能够清晰地阐述这些向量分析工具的几何意义和物理直观，而不仅仅是提供一套纯粹的计算公式。 并且，对于多重积分，这本书将如何处理积分区域的定义、积分次序的变换（Fubini定理）、以及在不同坐标系下的积分（如极坐标、柱坐标、球坐标）？我非常期待书中能够包含详尽的例子和证明，能够让我真正理解这些概念的来龙去脉，而不是停留在表面。