从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理

出版者:华东师范大学出版社

作者:冯承天

页数:136

出版时间:2014-11-1

价格:CNY 22.00

装帧:平装

isbn号码:9787567525313

具体描述

“阿贝尔不可能性定理”—— 一般五次方程无根式求解，开启了代数史上的一个伟大的新纪元，是人类思想史上的一个重大事件，“她”深刻而优美，但却由于坊间的书籍与文献都是“天书”，而往往使得数学爱好者都望而却步，难以跨越。

本书试图在高中数学的基础上，把初等数论、高等代数中的一些重要概念与理论串在一起详加论述。从“多项式方程的求解与数系的扩张”、“整数的一些基本概念、定理与理论”、“数域、扩域与代数扩域的一些基本理论”、“多项式的一些基本概念、定理与理论”、“阿贝尔引理、阿贝尔不可约定理以及一些重要的扩域”、“多项式方程的根式求解、克罗内克定理与鲁菲尼—阿贝尔定理”等六方面逐步展开，尽可能地用通俗易懂的“细说”方式 推导出这一具有划时代意义的“不可能性定理”的种种方面。

这就能使读者在学习多项式与数论的一些初等理论的基础上全面把握“阿贝尔不可能性定理”证明和精髓的同时，也能学到在其他数学分支也极其有用的许多数学思想、方法和内容。

本书可供高中学生、理工科大学生、大中学校数学教师以及广大的数学爱好者在学习与教学解多项式方程、阿贝尔定理以及初等数论与高等代数基础时阅读、参考。

作者简介

冯承天，原上海师范大学数理学院物理系教授，现旅居美国，著有《从一元一次方程到伽罗瓦理论》；译有《对称》、《寻觅基元：探索物质的终极结构》、《怎样解题：数学思维的新方法》、《恋爱中的爱因斯坦：科学罗曼史》等。

目录信息

第一部分 多项式方程的求解与数系的扩张
第一章 多项式方程的求解和数系的扩张
§1.1 从自然数到有理数
§1.2 实数和复数
§1.3 代数学基本定理
§1.4 1的n次方根
§1.5 纯方程的解
§1.6 复数系的运算性质和法则
第二章 二次、三次、四次方程的求解
§2.1 n次方程的简化
§2.2 二次方程的求解
§2.3 三次方程的求解
§2.4 卡丹公式与复数
§2.5 四次方程的求解
§2.6 一般五次方程有公式解吗？
第二部分 整数的一些基本概念、定理与理论
第三章 算术基本定理
§3.1 正整数的可除定理
§3.2 素数和合数
§3.3 算术基本定理
第四章 欧几里得算法
§4.1 最大公因子
§4.2 欧几里得算法
§4.3 贝祖等式
第三部分 数域、扩域与代数扩域的一些基本理论
第五章 数域的概念
§5.1 数域的定义
§5.2 子域和扩域
第六章 代数添加和扩域
§6.1 添加与扩域
§6.2 代数添加时的扩域结构
§6.3 添加2个代数元的情况
第四部分 多项式的一些基本概念、定理与理论
第七章 可约和不可约多项式
§7.1 数系上的多项式
§7.2 多项式的可约和不可约
§7.3 Z上和Q上的多项式的可约性问题
§7.4 高斯引理
§7.5 艾森斯坦不可约判据
第八章 多项式的整除理论
§8.1 多项式的整除性
§8.2 多项式的可除定理
§8.3 剩余定理
第九章 多项式的最大公因式
§9.1 公因式和最大公因式
§9.2 多项式的欧几里得算法
§9.3 多项式的贝祖等式
§9.4 多项式的互素
§9.5 多项式的唯一因式分解定理
第十章 多项式的导数和多项式的根
§10.1 函数的变化率和导数
§10.2 形式导数
§10.3 多项式的根
§10.4 重根问题
§10.5 根与系数的关系
第十一章 实系数多项式的根
§11.1 实系数多项式的实根和复根
§11.2 实数序列的变号次数
§11.3 没有重根的实系数多项式的斯图姆组
§11.4 斯图姆定理
第十二章 多元多项式
§12.1 多元多项式和字典式排列法
§12.2 对称多项式和初等对称多项式
§12.3 对称多项式基本定理
第五部分 阿贝尔引理、阿贝尔不可约定理
以及一些重要的扩域
第十三章 阿贝尔引理与阿贝尔不可约定理
§13.1 x2－c∈N*［x］在N*上可约吗？
§13.2 xn－c在N*上的可约性问题
§13.3 阿贝尔引理
§13.4 不可约多项式的基本定理——阿贝尔不可约性定理
第十四章 单代数扩域的结构，纯扩域和复共轭封闭域
§14.1 不可约多项式的根给出的单代数扩域
§14.2 单代数扩域的结构定理
§14.3 n型纯扩域
§14.4 复共轭封闭域
第六部分 多项式方程的根式求解、克罗内克定理
与鲁菲尼—阿贝尔定理
第十五章 关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的两个定理
§15.1 关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的
第一个定理
§15.2 关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的
第二个定理
第十六章 多项式方程的根式求解
§16.1 多项式方程根式可解的含意
§16.2 多项式方程根式可解的精确定义和对讨论情况的
一些简化
§16.3 f（x）根式扩链的加细
§16.4 f(x)达到可约的两种情况
§16.5 证明“阿贝尔不可能性定理”的思路
§16.6 f(x)可约给出的一些结果
§16.7 多项式ψ(x， λv)的两个性质
§16.8 f(x)在Em上分解为线性因式的乘积
§16.9 f(x)的根在Em中的表示
§16.10 对情况A的讨论
§16.11 对情况B的讨论
§16.12 克罗内克定理和鲁菲尼—阿贝尔定理
§16.13 尾声
附录
附录1 关于代数学基本定理的定性说明
附录2 复数的表示及运算
附录3 韦达用三角函数解简化的三次方程的方法
附录4 斯图姆定理的证明
参考文献
后记
· · · · · · (收起)

用户评价

作为一个对数学史和数学哲学有着浓厚兴趣的读者，这本书的题目立刻吸引了我的注意。我脑海中浮现出那些伟大的数学家们，他们在探索多项式方程解的过程中，是如何不断挑战已知，突破极限的。从早期的线性方程，到二次方程的求根公式，再到三次和四次方程的复杂求解方法，每一个进步都凝聚了无数的智慧。而当数学家们试图寻找五次以上方程的通用根式解公式时，却遭遇了难以逾越的障碍。这其中一定充满了试错、灵感闪现和深刻的反思。我非常期待作者能够带领我走进那个时代，去感受数学家们在探索未知领域的激情与艰辛。特别是关于阿贝尔不可能性定理的论述，我希望能深入理解这个定理的内涵，它不仅仅是一个关于“无解”的声明，更是对数学问题可解性的深刻洞察。它如何证明了通用根式解的不存在？其证明过程中使用了哪些核心的数学工具和思想？这些是我迫切想要了解的。我希望作者能够以一种引人入胜的方式来讲解这些抽象的数学概念，让即使不是专业数学家也能领略到其中的智慧之光。这本书的价值，或许就在于它能够连接起数学发展的不同阶段，展现出数学思想是如何演进和深化的，以及一个看似“无解”的问题，如何能催生出更深层次的数学理论。

这本书的书名，像是一条时间的长河，承载着数学家们数个世纪的智慧与探索。《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理》，光是听名字，就足以激发我对其中内容的无限遐想。我一直认为，数学中最令人着迷的，是那些看似简单的问题背后隐藏的深刻结构，以及人类为了理解这些结构所付出的不懈努力。从最早的线性方程，到古希腊人对几何代数的探索，再到卡尔达诺、费拉里等人在三次和四次方程求解上的突破，这些都是数学史上的璀璨明珠。而当数学家们试图将目光投向更高次的方程，寻找一个普适性的根式解时，却似乎触及到了某种“不可能”的边界。阿贝尔的不可能性定理，正是对这一边界的深刻定义。我期待在这本书中，能够看到作者如何细致地梳理出这条从具体求解到抽象证明的道路，如何解释早期数学家们在探索过程中所遇到的困难和取得的成就。更重要的是，我希望能够深入理解阿贝尔定理的证明思路，它如何巧妙地运用了群论的概念，揭示了多项式方程的根式可解性与其对称性之间的深刻联系。这本书的价值，在我看来，在于它能够将一段复杂艰深的数学历史，以一种清晰、生动且充满智慧的方式展现给读者，让我们不仅了解了“是什么”，更能理解“为什么”。

《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理》，这个书名本身就如同一个精巧的数学命题，充满了引人入胜的张力。我脑海中立刻浮现出那些在历史长河中闪耀的数学巨星，他们如何一次次地挑战多项式方程求解的边界。从对低次方程根式解的发现，到试图寻找适用于所有方程的通用公式，这本身就是一段充满智慧与毅力的探险。我期待在这本书中，能够跟随作者的笔触，重温那些关键的历史时刻：那些天才的灵光乍现，那些艰难的证明过程，以及那些对数学的深刻反思。阿贝尔的不可能性定理，作为这个探索历程的终点，却又开启了新的篇章。它宣告了根式解的局限性，却也催生了更抽象、更强大的代数理论。我特别想了解，这个定理的证明是如何进行的？它运用了哪些核心的数学工具和思想？是否涉及到置换群、域扩张等抽象概念？我希望作者能够以一种既严谨又不失趣味的方式，将这些复杂的数学思想娓娓道来，让读者在领略数学之美的同时，也能深刻理解数学思想是如何不断演进和深化的。这本书的意义，在于它能够连接起数学发展的不同阶段，展现出人类智慧在不断探索和突破的过程中所绽放的光芒。

这本书的书名本身就充满了学究气的吸引力，也带着一丝让人望而却步的神秘感。《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理》，这穿越了几个世纪的数学探索历程，让我对书中的内容充满了好奇。我一直对那些能够将复杂数学概念层层剥离，最终展现其内在逻辑与优雅的著作情有独钟。这本书的标题暗示了一种从具体问题（求解多项式方程）到一般性原理（阿贝尔不可能性定理）的递进关系，这正是数学研究中最令人着迷的部分。我期待着作者能够清晰地阐述，早期数学家们是如何一步步地面对高次多项式方程的无解困境，他们为此付出了怎样的智慧和努力。从卡尔达诺的公式，到拉格朗日对置换群的初步探索，再到高斯对根式解的普遍性问题的深入思考，这一系列的数学发展脉络，如果能被细腻地勾勒出来，必将是一场思想的盛宴。而最终抵达阿贝尔不可能性定理，那“没有通用的根式解公式”的结论，本身就是一个革命性的成果，它不仅终结了数学家们几个世纪的努力，更开辟了新的研究方向，比如伽罗瓦理论。我希望这本书能够深入浅出地讲解这些关键性的历史时刻和数学突破，让读者能够理解其中的数学思想和方法，而不是仅仅停留在公式的堆砌上。这本书的成功之处，很大程度上取决于作者能否在历史叙事和数学讲解之间找到一个绝佳的平衡点，让历史的魅力与数学的严谨完美融合。

这本书的书名，仿佛就是一篇关于数学探索的史诗序曲。我一直对那些人类智慧在面对看似无解难题时所迸发出的光辉特别着迷。求解多项式方程，从简单的线性方程到复杂的五次方程，这本身就构成了一条跌宕起伏的数学探索之路。我希望能在这本书中，看到早期数学家们如何一步步攻克难关，他们的灵感从何而来，又是如何将代数工具运用得炉火纯青。而最终，当他们似乎已经穷尽所有方法，却依然无法找到一个适用于所有五次及以上方程的通用根式解公式时，阿贝尔的不可能性定理便应运而生。我非常期待书中能够深入剖析这个定理的核心思想，它是如何通过群论的语言，优雅而有力地证明了这种“普遍性”的不存在。这个定理的意义，绝不仅仅在于宣告了某种方法的失效，更在于它揭示了代数结构本身的深刻奥秘，并为后来的抽象代数，特别是伽罗瓦理论奠定了坚实的基础。我希望这本书能够以一种引人入胜的叙事方式，将历史的钩沉与数学的严谨巧妙地融合，让读者在跟随数学家们探索的脚步的同时，也能领略到数学思想的深刻演进和逻辑的终极魅力，而不会因为专业术语而望而却步。

这本书的题目，仿佛就是一段数学史的浓缩，从具象的方程求解，跃升至抽象的理论证明。《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理》，光是这几个字，就足以让我对书中内容充满期待。我一直对数学中那些关于“可解性”的问题特别着迷，而多项式方程的根式解问题无疑是其中的经典。我希望这本书能够详细描绘出，从古代人们对低次方程的求解，到文艺复兴时期数学家们在三次和四次方程上取得的突破，再到后来数学家们试图寻找适用于所有方程的通用根式解公式的漫长而曲折的道路。我非常想知道，当数学家们发现似乎无法解决五次及以上方程的根式解问题时，他们是如何思考的？是感到困惑，还是从中发现了更深刻的数学规律？阿贝尔不可能性定理，作为这个探索过程的最终结论，它所揭示的“普遍性不存在”的意义有多深远？我希望作者能够用一种清晰易懂的方式，来解读这个定理的证明思路，它是否与置换群的结构密切相关？这本书的价值，在于它不仅能让我了解到某个重要的数学定理，更能让我理解数学思想是如何在解决具体问题的过程中不断发展和深化的，以及人类智慧在追求真理道路上的不懈努力。

这本书的标题，就像一扇通往数学深邃殿堂的门。我一直对那些看似简单却蕴含着深刻哲理的问题着迷，求解多项式方程无疑是其中之一。从古代人们尝试求解线性方程，到牛顿、莱布尼茨等人在微积分领域的辉煌成就，再到高斯对代数基本定理的贡献，数学的发展史就是一部不断挑战和解决问题的历史。这本书显然聚焦于一个非常重要的转折点——五次及以上多项式方程的根式解问题。我迫切想知道，当数学家们发现无法找到一个通用的根式解公式时，他们是如何应对的？是感到沮丧，还是从中看到了新的数学机遇？阿贝尔不可能性定理，这个名字本身就带着一种终结性和突破性的力量，它宣告了对一个古老问题的最终回答。我希望书中能够详细解释这个定理的证明思路，以及它对后世数学，尤其是抽象代数的发展产生了何种深远影响。作者能否将复杂的群论概念，如置换群、域扩张等，用清晰易懂的语言呈现出来，是这本书能否成功的关键。我期待着这本书能够不仅仅是一本数学知识的科普读物，更是一次关于数学探索精神和智慧的旅程，让我能够更好地理解数学是如何在解决具体问题的过程中，不断自我革新和发展的。

当我读到《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理》这个书名时，一股强烈的求知欲便油然而生。这不仅仅是一个关于数学的标题，更像是一段关于人类智慧如何探索未知、挑战极限的史诗。我一直对数学史中那些看似不可能的任务，以及最终诞生的划时代理论深感兴趣。从早期数学家们如何一步步攻克线性、二次、三次乃至四次方程的求解难题，他们的思路是如何从几何走向代数，再到如何试图寻找一个普适性的根式解公式，这其中一定充满了智慧的闪光和艰辛的探索。而阿贝尔不可能性定理，作为这个漫长探索过程中的一个重要里程碑，它的存在本身就极具颠覆性。我迫切希望在这本书中，能够深入理解这个定理的精髓：它如何通过严谨的数学证明，宣告了通用根式解公式的不存在？其证明过程的核心思想是什么？是否涉及到群论的早期概念，如置换群的性质？更重要的是，这个定理的提出，是如何深刻地影响了后来的代数研究，例如伽罗瓦理论的建立？我期待这本书能够以一种引人入胜的方式，将历史的纵深感与数学的逻辑之美完美结合，让读者在理解定理本身的同时，也能感受到数学探索的艰辛与乐趣。

当我在书店里看到《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理》这个书名时，我的目光就被牢牢吸引住了。它不仅仅是一个关于数学知识的陈述，更像是一个关于人类智慧与毅力挑战极限的宏大叙事。我一直对数学史中那些伟大的“不可能”证明非常感兴趣，因为它们往往是数学发展的重要转折点。求解多项式方程，从古代埃及人尝试解一元一次方程，到文艺复兴时期意大利数学家们在三次和四次方程求解上的突破，再到后来高斯对一般性问题的深入研究，这一过程本身就是一部精彩的数学史。而阿贝尔不可能性定理，作为这个历程的一个关键节点，它的出现意味着数学家们对“可解性”的理解进入了一个全新的层面。我希望这本书能够细致地勾勒出从早期求解方法到最终证明“无根式解公式”的整个逻辑链条，让读者能够理解数学家们是如何通过观察、归纳、抽象和证明，一步步逼近真理的。特别是阿贝尔定理的证明，我希望能够用一种易于理解的方式来解读其核心思想，例如置换群的性质是如何被用来刻画方程解的结构的。这本书的价值，在于它能够将一段漫长的数学探索过程，以清晰、连贯且引人入胜的方式呈现给读者，让我们感受到数学的生命力和其内在的逻辑之美。

对于一本以“从…到…”为结构的书籍，我总是抱有极高的期待。这种结构往往意味着一种思维的跃迁，一种从具象到抽象，从特殊到普遍的深刻转变。《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理》这个题目，恰恰完美地捕捉了数学发展史上的一个关键节点。我好奇的是，早期数学家们在面对低次多项式方程时，是如何一步步摸索出求解的规律？从直观的几何方法，到代数的符号运算，再到后来的群论思想雏形，这个过程一定充满了智慧的火花。而当他们将目光投向更高次的方程时，却发现似乎陷入了某种“不可能”的境地。阿贝尔的不可能性定理，作为这个历程的最终章，其结论本身就具有颠覆性——不存在一个统一的、仅用根式和四则运算就能表达任意五次及以上多项式方程的解。我希望书中能够详细阐述这个定理的证明过程，它所依赖的核心思想是什么？是否涉及到伽罗瓦理论的早期萌芽？更重要的是，这个定理的提出，是如何改变了数学家们看待“可解性”这一概念的？它是否催生了更抽象、更强大的代数工具？我对这本书能够以一种富有吸引力的叙事方式，将这些深邃的数学思想和历史演进巧妙地结合起来，让我能够深刻理解数学的进取精神和逻辑之美。

经典科普书籍

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可以在学伽罗瓦理论之前看一看。前面还平易，例子也多，最后一部分理论就密集了。

旧读打分，优秀的数学科普书。