不等式研究 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:西藏人民齣版社

作者:楊學枝

出品人:

頁數:602

译者:

出版時間:2000.06

價格:28.00

裝幀:20cm

isbn號碼:9787223011044

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 科普
• 不等式
• 數學
• 不等式
• 數學分析
• 優化
• 實分析
• 高等數學
• 數學研究
• 理論數學
• 數學建模
• 函數不等式

《不等式研究》：一本探索數學嚴謹性與邏輯之美的著作 《不等式研究》是一本深入探討數學領域中“不等式”這一核心概念的專著。本書並非僅僅羅列各種不等式及其解法，而是將目光投嚮不等式背後蘊含的深刻數學思想、嚴謹的邏輯推理以及其在解決復雜問題中所扮演的關鍵角色。全書力求在係統梳理不等式理論的同時，展現數學思維的精妙之處，引領讀者進入一個邏輯清晰、推理嚴密的數學世界。 第一篇 理論基石：不等式的基本概念與性質 本書的開篇，我們將首先為讀者構建起對不等式最基本、最核心的認識。這一部分內容，旨在為後續更為深入的探討打下堅實的基礎。 不等式的定義與種類： 我們將從最根本的層麵齣發，清晰闡述什麼是“不等式”，它與“等式”在本質上的區彆何在。不等式不僅僅是“大於”或“小於”，還包括“大於等於”和“小於等於”等形式。我們將係統介紹這些基本不等號所代錶的意義，以及它們如何用來描述數與數之間、量與量之間的大小關係。本書將區分不同類型的不等式，例如代數不等式、幾何不等式、函數不等式等，並簡要介紹它們的特點和研究方嚮，為讀者建立一個初步的分類框架。 基本性質的梳理與證明： 任何一個數學概念的生命力都源於其內在的性質。對於不等式而言，其基本性質是進行推導和證明的基石。我們將對不等式最核心的性質進行詳盡的闡述和嚴謹的證明。例如，傳遞性（若 $a>b$ 且 $b>c$，則 $a>c$）、加法法則（若 $a>b$，則 $a+c > b+c$）、乘法法則（若 $a>b$ 且 $c>0$，則 $ac > bc$；若 $a>b$ 且 $c<0$，則 $ac < bc$）以及除法法則等。我們將通過嚴謹的數學語言和清晰的邏輯步驟，展示這些性質是如何被證明的，強調數學證明的規範性和嚴密性，讓讀者體會到數學結論的可靠來源。 柯西-施瓦茲不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）的初步探討： 作為最著名和應用最廣泛的不等式之一，柯西-施瓦茲不等式在本書中將得到重點的關注。在理論基石部分，我們首先將介紹其基本形式，例如對於實數序列 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有 $(sum_{i=1}^n a_ib_i)^2 le (sum_{i=1}^n a_i^2)(sum_{i=1}^n b_i^2)$。我們將詳細解釋該不等式的幾何意義，它實際上是將嚮量的點積與嚮量的模長聯係起來。這一初步的介紹，旨在讓讀者對不等式研究的深度和廣度有一個初步的認識，並為後續更復雜的應用打下基礎。 第二篇 經典不等式的證明與發展 在掌握瞭不等式的基本概念和性質後，本書將進入更為精彩的篇章，深入探討一係列經典不等式，並追溯其證明思路的發展演變。 均值不等式（AM-GM Inequality）的體係解析： 均值不等式，特彆是算術平均數與幾何平均數之間的關係（$frac{a_1+a_2+ldots+a_n}{n} ge sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$），是數學中的另一顆璀璨明珠。我們將係統介紹其在不同情況下的錶述（例如，二元、多元、加權等），並提供多種經典證明方法，包括代數歸納法、幾何證明、微積分方法等。本書將著重分析這些證明方法的精妙之處，展示數學傢們如何通過不同的視角來理解和證明同一個真理。通過對均值不等式的深入剖析，讀者可以學習到如何運用對稱性、構造輔助函數等數學技巧。 閔可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）與嚮量空間： 閔可夫斯基不等式是另一個非常重要的不等式，它在嚮量空間理論和距離度量中扮演著核心角色。我們將介紹其形式，例如對於 $p ge 1$， $(sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p)^{1/p} le (sum_{i=1}^n a_i^p)^{1/p} + (sum_{i=1}^n b_i^p)^{1/p}$。本書將從嚮量空間的視角來理解閔可夫斯基不等式，強調它在度量空間的三角不等式性質中的體現。我們將深入探討其證明思路，並簡要介紹它在概率論、泛函分析等領域中的初步應用，以此展現不等式研究的跨學科魅力。 其他重要不等式的探索： 除瞭上述經典不等式，本書還將涉及其他一係列重要不等式，例如： 赫爾德不等式（Holder's Inequality）： 它是柯西-施瓦茲不等式的一般化，在 $L^p$ 空間中有著重要的應用。 伯努利不等式（Bernoulli's Inequality）： $(1+x)^n ge 1+nx$（當 $x ge -1$ 且 $n$ 為正整數時），它在微積分和概率論中有廣泛的用途。 穆爾海德不等式（Muirhead's Inequality）： 它是關於對稱平均不等式的一個更普遍的結果，涉及對稱和的比較。 等等 對於每一個不等式，我們將遵循“提齣問題—分析特點—給齣證明—探討應用”的模式，力求讓讀者不僅知其然，更知其所以然。 第三篇 不等式的證明方法與技巧 理論的掌握是基礎，而解決問題的能力則依賴於靈活運用和創新的思維。本書的第三篇將係統地總結和歸納不等式證明中常用的方法和技巧，為讀者提供一套解決不等式問題的“工具箱”。 代數方法： 直接證明法： 基於不等式的基本性質，通過一係列邏輯推理直接推導齣目標不等式。 構造法： 巧妙地構造輔助項、輔助式或輔助函數，將待證不等式轉化為已知不等式或更易處理的形式。例如，構造平方項、構造二次函數等。 換元法： 通過引入新的變量，簡化不等式的形式，使其更容易處理。 配方法： 將不等式中的錶達式轉化為平方和、平方差的形式，從而利用非負性來證明。 放縮法： 通過將不等式中的項進行適當的放大或縮小，使其能夠推導齣目標不等式。 微積分方法： 單調性判斷： 通過構造函數，利用導數來判斷函數的單調性，從而證明不等式。 泰勒展開： 利用函數的泰勒展開式來近似或精確地錶達函數，從而推導齣不等式。 極值法： 找到函數的極值點，並利用極值來證明不等式。 幾何方法： 幾何意義的轉化： 將抽象的代數不等式轉化為直觀的幾何問題，利用幾何圖形的性質進行證明。例如，利用平麵幾何的距離、麵積等概念。 嚮量法： 利用嚮量的性質，如嚮量的模長、點積等來證明不等式，這與柯西-施瓦茲不等式的幾何意義緊密相關。 分析方法： 反證法： 假設待證不等式不成立，然後通過邏輯推理導齣矛盾，從而證明原不等式成立。 構造反例法（用於否定命題）： 雖然本書主要關注證明，但提及反例法對於理解數學的嚴謹性至關重要。 本書將通過大量精心挑選的例題，將這些方法和技巧貫穿其中，每一個例題都將進行詳細的分析，闡述所用方法的原理、步驟以及其適用範圍。 第四篇 不等式在各領域的應用 不等式並非僅僅是抽象的數學理論，它在數學的各個分支乃至其他科學領域都扮演著至關重要的角色。本書的第四篇將聚焦於不等式的應用，展現其強大的生命力和普適性。 代數方程與函數方程： 在求解代數方程的根的分布、函數方程的解的性質時，不等式常常是必不可少的工具。例如，利用判彆式來確定二次方程實數根的個數，利用不等式來分析函數的單調性、值域等。 微積分與最優化問題： 不等式在微積分中無處不在，例如在極限的定義（$epsilon-delta$ 定義）、積分的估計（例如，若 $m le f(x) le M$，則 $m(b-a) le int_a^b f(x) dx le M(b-a)$）以及各種優化問題的求解中，不等式都是核心的數學工具。 概率論與統計學： 許多重要的概率不等式，如切比雪夫不等式、馬爾可夫不等式等，都用來估計隨機變量的概率分布，這是進行統計推斷和風險評估的基礎。 幾何學與拓撲學： 在研究圖形的性質、度量空間中的距離關係時，不等式也發揮著重要作用。例如，歐幾裏得距離的定義本身就是一個不等式，而三角不等式在度量空間中更是核心性質。 組閤數學： 在計數和組閤分析中，不等式常被用來估計某些組閤量的上界或下界，例如，在分析算法的復雜度時，常常會用到不等式來界定計算量的增長速度。 其他科學領域： 本書還將簡要介紹不等式在物理學（例如，能量守恒、量子力學中的不確定性原理）、經濟學（例如，福利經濟學中的帕纍托最優）、計算機科學（例如，算法的時間復雜度分析）等領域的應用，以此展現不等式作為一種普適的數學語言，其強大的分析和建模能力。 結語 《不等式研究》旨在帶領讀者深入理解不等式這一數學概念的精髓。本書不僅僅是知識的傳遞，更是數學思維的啓迪。通過對理論的嚴謹闡述、對經典不等式的深入剖析、對證明方法的係統梳理以及對廣泛應用的介紹，本書力求讓讀者在掌握不等式知識的同時，培養嚴謹的邏輯思維能力、解決復雜問題的分析能力，以及對數學之美的深刻體會。本書適閤數學愛好者、高等院校相關專業的學生、以及在工作中需要運用數學分析工具的科研人員和工程師閱讀。希望本書能夠成為讀者探索數學世界、提升思維品質的得力助手。

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

這本書的排版和圖示設計，為提升閱讀體驗做齣瞭巨大的貢獻。在處理復雜的圖形化論證時，作者和齣版方顯然投入瞭大量心血。圖錶的清晰度和標記的準確性達到瞭專業水準，它們並非簡單的裝飾，而是論證鏈條中不可或缺的一部分。特彆是那些涉及多維空間或動態過程的插圖，它們用最簡潔的方式闡釋瞭最復雜的幾何關係，極大地減輕瞭讀者的認知負荷。此外，書中的注釋係統設計得非常人性化，那些看似“題外話”的補充說明，往往蘊含著深層次的見解或重要的曆史典故，它們就像是散落在知識地圖上的指南針，總能在關鍵時刻提供方嚮性的指導。總而言之，這是一本在視覺和邏輯上都經過精心打磨的作品，閱讀過程是一種視覺和智力的雙重享受。

评分☆☆☆☆☆

我個人認為，這本書的價值在於它成功地打破瞭某些數學分支固有的“高冷”麵具，展現瞭其內在的活力與美感。它並非是那種隻適閤在象牙塔中傳閱的學術專著，而是具有極高教育推廣價值的典範之作。書中對各種情境的模擬，無論是經濟學上的資源配置，還是工程學上的優化設計，都顯示齣其理論的普適性。作者的寫作風格在某些關鍵轉摺點上，會突然變得非常富有激情，仿佛在嚮讀者展示一個等待被發現的美麗結構。這種情感上的投入，使得枯燥的符號運算也變得生動起來。它鼓勵讀者不僅要計算，更要去欣賞那些隱藏在數字背後的和諧與秩序。讀完此書，我感覺自己不僅學到瞭一套分析工具，更重要的是，培養瞭一種更加審慎、更加結構化的思維習慣，這種收獲是無價的。

评分☆☆☆☆☆

這本書最讓我感到驚喜的是它對於“為什麼”的深入探究，而非僅僅停留在“是什麼”的層麵。很多數學書籍會著重講解如何運用某種技巧，但這本書卻花費瞭大量的篇幅來剖析這些技巧誕生的曆史背景和思想根源。這種“溯源式”的講解，讓人明白每一個數學工具都不是憑空齣現的，它們是人類智慧在特定曆史階段解決實際問題的結晶。這使得閱讀過程充滿瞭曆史的厚重感和哲學的思辨性。我時常在某個證明的簡潔性麵前駐足，思考著前人是如何一步步剝離冗餘，直達核心的。對於那些渴望理解數學本質，而非僅僅追求解題技巧的讀者來說，這本書無疑是一座寶庫。它教會我們的，是如何像一個真正的數學傢那樣去思考問題——保持好奇心，質疑既有的範式，並勇於探索未知的領域。

评分☆☆☆☆☆

這部作品，以其深邃的洞察力和嚴謹的邏輯，將我們帶入瞭一個充滿挑戰與機遇的數學領域。作者並非簡單地羅列公式與定理，而是精心構建瞭一個探索性的旅程。閱讀過程中，我仿佛置身於一個由數字和符號構築的迷宮，每一步都伴隨著邏輯上的清晰指引。書中的案例分析尤其令人印象深刻，它們不僅展示瞭理論的實際應用，更揭示瞭數學思維在解決復雜問題中的強大力量。作者巧妙地平衡瞭理論的深度與實踐的可操作性，使得即便是對高等數學有些生疏的讀者也能逐步跟上節奏。從基礎的概念鋪陳到進階的復雜模型構建，整個過程流暢且富有啓發性。它不僅僅是一本教科書，更像是一位經驗豐富的嚮導，引領我們穿越抽象的數學森林，最終抵達真理的彼岸。這種引導式的敘述，極大地激發瞭讀者的主動探索欲望，讓我對數學的理解達到瞭一個新的高度。

评分☆☆☆☆☆

坦率地說，這本書的文字風格頗具特色，帶著一種近乎詩意的精準。初讀時，我被那種內斂而有力的敘述方式所吸引。它沒有過多華麗的辭藻，卻在每一個句子的選擇上都體現齣對精確性的極緻追求。在探討一些核心概念時，作者采用瞭對比和類比的手法，將那些原本可能令人望而生畏的抽象概念，轉化為生動、可感的圖像。例如，對於某些邊界條件的討論，作者所用的比喻，竟能讓人聯想到物理學中的張力和平衡。這種跨學科的視角，極大地豐富瞭閱讀體驗。我特彆欣賞它在結構上的安排，章節之間的過渡幾乎是無縫銜接的，仿佛在閱讀一部精心編排的交響樂，每個樂章都有其明確的主題和功能，共同推嚮高潮。這本書的閱讀體驗，是沉浸式的，它要求讀者全身心地投入，用思考去“感受”每一個推導過程的必然性。

评分☆☆☆☆☆

讀的是一個入門，但是寫的非常經典。數學一定是魔術，需要更加好的魔術師

评分☆☆☆☆☆

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