代数学基础与有限域

出版者:高等教育出版社

作者:林东岱

页数:187

出版时间:2006-7

价格:26.70元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040192308

丛书系列:中国科学院研究生院教材

具体描述

《代数学基础与有限域》是中国科学院研究生院教材，系统介绍了有限域的基本内容和基本知识。内容力求科学性、系统性、基础性和前沿性的统一，使学习者不仅能获得比较系统的科学基础知识，也能体会蕴于其中的科学精神、科学思想、科学方法，为进入科学研究的学术殿堂奠定良好的基础。

目录信息

第一章 代数学基础
1.1群
1.2环与理想
1.3多项式环
1.4域和扩域
习题
第二章 有限域的结构
2.1有限域的特征性质
2.2不可约多项式的根
2.3迹，范数和基
2.4单位根和割圆多项式
2.5有限域元素的表示
习题
第三章 有限域上的多项式
3.1多项式的阶和本原多项式
3.2不可约多项式
3.3不可约多项式的构造
3.4有限域上多项式因式分解
习题
第四章 有限域上的离散对数问题
4.1有限域上的离散对数问题
4.2 Shanks算法
4.3 Pohlig-Heliman算法
4.4 Pollard p方法.
4.5指数演算方法
习题
第五章 有限域上的椭圆曲线
5.1椭圆曲线上的群结构
5.2椭圆曲线的射影坐标表示
5.3椭圆曲线上的有理点
5.4椭圆曲线密码学
习题
第六章 伪随机序列
6.1二元序列的伪随机性
6.2线性移位寄存器序列
6.3 Berlekamp Massey算法
6.4线性递归m一阵列
习题
第七章 有限域的应用
7.1纠错码简介
7.1.1线性码
7.1.2循环码
7.2有限域与分组密码
7.2.1分组密码概述
7.2.2 AES分组密码算法
习题
参考文献
索 引
· · · · · · (收起)

用户评价

这本书的叙述方式，可以说是一种“循序渐进”的典范。在代数学基础的章节，作者从最基本、最易于理解的代数结构——群开始，详细阐述了群的各种性质，包括其子群、陪集、正规子群以及商群等概念。我特别注意到，书中在介绍群的同态与同构时，并没有停留在抽象的定义层面，而是通过一系列具体的例子，如整数加法群、模 $n$ 加法群、非零复数乘法群等，来帮助读者理解这些概念的实际含义。这种由浅入深，由具体到抽象的讲解方式，对于我这样非数学专业背景的读者来说，非常有帮助。而当读到有限域的章节时，我更是感到眼前一亮。本书对有限域的构造，特别是基于多项式环的构造，进行了非常详尽的阐述。作者详细介绍了如何选取合适的不可约多项式，以及如何通过模运算来生成一个阶数为 $p^n$ 的域。我还在努力理解，为什么有限域的阶数必须是素数的幂次，以及不同阶数的有限域之间是如何相互关联的。这本书的严谨性毋庸置疑，但作者的写作风格却力求清晰易懂，这使得我在探索代数世界的过程中，感到既充实又愉悦。

我必须说，这本书的选题非常有前瞻性，它直接触及了现代数学和计算机科学中的核心领域。在代数学基础部分，作者没有回避那些抽象的概念，而是直面它们，并试图将它们清晰地呈现出来。他对群论的讲解，从群的定义到更高级的概念如同态、同构、正规子群和商群，都做得相当到位。我尤其喜欢它在介绍这些概念时，所引用的那些经典的数学例子，比如整数加法群、对称群等，这些例子让抽象的理论变得更加生动和易于理解。虽然有些证明过程需要反复推敲，但作者的逻辑链条非常清晰，只要认真阅读，就能跟得上他的思路。而当深入到有限域的部分时，这本书的价值就更加凸显了。它详细介绍了有限域的构造，特别是如何利用多项式环和不可约多项式来构造不同阶数的有限域，以及伽罗瓦域（Galois Field）的各种性质。我正在努力理解，有限域的乘法群是循环群的证明，以及这些性质在编码理论和密码学中的实际应用。这本书的严谨性与实用性并存，为我理解这些前沿技术提供了坚实的理论基础。

这本书在代数学基础的叙述上，确实展现了其扎实的功底。作者对群论的阐释，从基本定义如封闭性、结合律、单位元和逆元，到更深层次的概念如子群、陪集、正规子群，都进行了详尽的介绍。我尤其欣赏它对同态和同构的解释，通过清晰的映射关系，将抽象的代数结构之间的联系具象化。在学习过程中，我发现一些证明需要较强的逻辑思维能力，比如关于正规子群与商群的构造，这需要对群的运算有非常深入的理解。而当章节过渡到环和域时，我对“理想”的理解似乎更清晰了一些，它作为环的“子结构”，扮演着类似除法中的“余数”的角色，但以一种更抽象和普遍的方式存在。书中对多项式环的研究，以及在多项式环中引入“模”的概念，进而构造有限域，这是整个体系中最令我着迷的部分之一。我正在努力理解，为什么通过不可约多项式作为模，能够生成一个域，并且这个域的阶数与该多项式所处的环的阶数密切相关。这本书的数学语言非常严谨，但又不至于让人望而却步，作者似乎在努力寻找一种平衡，既要保证数学的精确性，又要兼顾读者的理解能力。

这本书的深度和广度都令人印象深刻。在代数学基础的部分，它不仅仅局限于群、环、域的基本定义，更深入地探讨了这些结构的各种重要性质和定理。例如，在群论部分，书中对拉格朗日定理的证明以及其在计算群元素阶数方面的应用，给了我很大的启发。作者对“正规子群”的详细讲解，以及它如何引出“商群”的概念，让我对群的内部结构有了更深刻的认识。这些概念的引入，为理解更复杂的代数理论奠定了坚实的基础。而当深入到有限域的章节时，这本书就显得尤为精彩。它详细阐述了有限域的构造方法，特别是如何通过多项式环的模运算来构建有限域。我正在努力理解，为什么一个次数为 $n$ 的多项式在域 $F_p$ 上的环 $F_p[x]$ 中，如果它是不可约的，那么 $F_p[x] / langle m(x) angle$ 就会构成一个阶数为 $p^n$ 的域。书中对伽罗瓦域的性质，如其乘法群是循环群的证明，以及其在有限几何、编码理论和密码学中的应用，都让我对这一数学工具的重要性有了全新的认识。

读了这本书的开头部分，我发现作者在介绍代数学的基础概念时，并没有直接跳到复杂的定义，而是从一些更贴近生活或易于理解的例子入手，这让我感到非常欣慰。比如，它提到了一些关于集合、映射、群论的基本思想，并尝试用一些具体的例子来阐释这些抽象概念，比如对称群在几何图形中的应用，或者模运算在日常时钟中的体现。虽然这些内容对我来说依然是全新的领域，但作者的解释方式让我觉得似乎没有那么遥不可及。我特别喜欢书中对于“结构”这个概念的强调，它似乎在试图告诉我，代数学不仅仅是关于数字和运算，更是关于事物之间关系的组织方式。这本书的排版也很清晰，公式和定理的标注都很规范，这为我后续的学习打下了良好的基础。我期待它能进一步深入探讨代数方程的解法，以及那些经典代数问题的提出和解决过程，比如三次方程的求根公式，这背后蕴含着多少智慧和探索。我还在琢磨，书中所描述的“环”和“域”的概念，与我们日常生活中遇到的“数”有什么本质的区别，它们是如何被抽象出来并赋予更广泛意义的。如果这本书能穿插一些历史故事，介绍这些概念的起源和发展，那将更有助于我理解它们的价值和意义。

我必须承认，这本书的风格确实相当“硬核”。在代数学基础部分，它从最基础的集合论概念开始，逐步构建起了群、环、域的理论框架。作者的叙述严谨而逻辑性极强，对每一个数学概念的定义都一丝不苟。我特别欣赏它在介绍群论时，对“阶”的概念进行的深入探讨，包括群的阶、元素的阶，以及它们之间的关系。同时，书中对群的同态和同构的讲解，也帮助我理解了不同代数结构之间的深层联系。虽然有些证明，特别是关于西罗定理的部分，确实需要反复研读和思考，但一旦理解了，就会觉得豁然开朗。当阅读到有限域部分时，我仿佛进入了一个全新的数学宇宙。书中详细介绍了有限域的构造，特别是如何通过不可约多项式在多项式环中进行模运算来构造有限域，以及这些域的阶数特性。我对“伽罗瓦域”的引入和其性质的阐述感到非常着迷，例如其乘法群的循环性，以及它作为有限线性空间在编码理论中的应用潜力。我还在琢磨，书中对于有限域中多项式方程的解法，以及这些解如何构成域的元素，这其中的数学之美令我沉醉。

这本书的名字听起来就特别学术，让我一开始有点望而却步。毕竟“代数学基础”这几个字，就足以让人脑补出无数抽象的概念和复杂的符号。我一直对数学有种莫名的敬畏，尤其是那些需要大量推导和证明的部分，总觉得它像一座难以逾越的高山。然而，我最近在学习一些关于密码学和编码理论的知识，而代数学，尤其是有限域，是这些领域的核心基石。我尝试着翻开这本书，希望能从中找到一些清晰的脉络，理解这些看似高深的理论是如何支撑起实际应用。我尤其关注书中是否会提供一些直观的例子，或者通过类比来解释抽象的概念，因为这对我这样非数学专业背景的读者来说至关重要。我希望它能像一位耐心的老师，循序渐进地引导我，而不是直接扔给我一堆公式然后让我自己去琢磨。我希望它能告诉我，为什么我们需要这些抽象的代数结构，它们在数学的宏伟体系中扮演着怎样的角色，以及它们是如何与我们身边的世界产生联系的。当然，我也希望能在这本书里找到一些有趣的数学史料，了解代数学的发展历程，以及那些伟大的数学家是如何一步步构建起这些理论的。如果这本书能在严谨性与可读性之间找到一个很好的平衡，那将是对我来说非常宝贵的学习资源。

这本书的篇幅不算短，但每一页都充满了信息量。在代数学基础部分，它并没有仅仅停留在定义和性质的罗列，而是深入探讨了群论中的一些重要结构，例如循环群、交换群、对称群等，并阐述了它们在数论和几何中的应用。我对于书中关于“正规子群”的解释印象特别深刻，它揭示了群的内部结构如何被进一步划分，并为理解“商群”的构造奠定了基础。虽然证明过程有些复杂，但作者提供的每一步推理都清晰可见，让我能够跟随思路进行思考。而进入有限域的部分，这本书就变得更加精彩了。它系统地介绍了有限域的构造，特别是基于多项式环的构造方法，以及伽罗瓦域（Galois Field）的性质。我正在努力理解，为什么阶数为 $p^n$（其中 $p$ 为素数，$n$ 为正整数）的域是唯一的，以及不同阶数的域之间如何建立联系。书中对有限域的算术运算，比如加法、乘法、除法，以及求逆元的操作，都进行了详细的说明，这对于理解其在密码学等领域的应用至关重要。我期待这本书能进一步阐述，如何利用有限域的性质来设计高效的加密算法和纠错编码方案。

这本书的阅读体验，可以说是一种“挑战与收获并存”的旅程。在代数学基础部分，作者以非常严谨的态度，从群的定义出发，逐步构建起了代数学的宏伟框架。书中对群的分类，特别是对有限交换群的结构定理的阐述，让我对这些抽象的数学对象有了更清晰的认识。我尤其欣赏作者在解释“理想”这个概念时，所使用的类比和例子，这帮助我理解了它在环论中的关键作用，以及它如何成为构造商环的基础。虽然有些证明过程，例如西罗定理的证明，确实需要非常专注的思考，但一旦理解了其中的逻辑，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。当我翻到有限域的章节时，这本书的魅力才真正显现出来。书中对有限域的构造，特别是通过多项式环的商环来构造域，以及这些域的阶数特性，都进行了非常详尽的介绍。我正在努力理解，为什么具有相同阶数的有限域都是同构的，以及有限域中的多项式方程解集是如何构成一个群的。这本书的数学语言非常精确，但我能感受到作者试图让每一个概念都易于理解的努力。

这本书的内容确实比我想象的要更深入一些。在代数学基础的部分，它详细讲解了群、环、域的定义、性质和一些基本定理，比如拉格朗日定理、欧拉定理等。这些定理的证明过程逻辑严谨，一步步的推导都非常清晰，让我能理解每个结论是如何得出的。不过，坦白说，有些证明细节对我来说还是有些挑战，需要反复阅读和思考才能完全消化。我特别注意到书中对“理想”这个概念的介绍，它似乎是理解环论的一个关键，我还在努力理解它在抽象代数中的作用。当读到有限域的部分时，我感到一阵兴奋，因为这正是我学习密码学所迫切需要的部分。书中介绍了有限域的构造，比如伽罗瓦域的构建方式，以及它们的一些基本性质，比如有限域的乘法群的循环性。我还在尝试理解，为什么有限域的阶数必须是素数的幂次，以及不同阶数的有限域之间是否存在联系。这本书似乎为我打开了一个全新的数学世界，充满了各种精巧的结构和深刻的洞察。我希望书中能提供更多关于有限域在实际应用中的案例，比如在纠错码、公钥密码系统中的具体实现，这会极大地增强我的学习动力和理解深度。

老板的书~~~~

老板的书~~~~

读了第一章，读不下去了。。。

读了第一章，读不下去了。。。

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