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出版者:Elsevier Science Ltd

作者:Giorgi, Giorgio A./ Guerraggio, Angelo/ Thierfelder, J./ Thierfelder, Guerraggio J.

出品人:

页数:614

译者:

出版时间:2004-3

价格:$ 220.35

装帧:HRD

isbn号码:9780444505507

丛书系列:

图书标签:

优化
数学优化
运筹学
算法
凸优化
线性规划
非线性规划
最优化理论
数值优化
建模

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具体描述

The book is intended for people (graduates, researchers, but also undergraduates with a good mathematical background) involved in the study of (static) optimization problems (in finite-dimensional spaces). It contains a lot of material, from basic tools of convex analysis to optimality conditions for smooth optimization problems, for non smooth optimization problems and for vector optimization problems. The development of the subjects are self-contained and the bibliographical references are usually treated in different books (only a few books on optimization theory deal also with vector problems), so the book can be a starting point for further readings in a more specialized literature. Assuming only a good (even if not advanced) knowledge of mathematical analysis and linear algebra, this book presents various aspects of the mathematical theory in optimization problems. The treatment is performed in finite-dimensional spaces and with no regard to algorithmic questions. After two chapters concerning, respectively, introductory subjects and basic tools and concepts of convex analysis, the book treats extensively mathematical programming problems in the smooth case, in the nonsmooth case and finally vector optimization problems. Self-contained clear style and results are either proved or stated precisely with adequate references. The authors have several years experience in this field. Several subjects are presented (some of them non usual in books of this kind) in one single book, including nonsmooth optimization and vector optimization problems. Useful long references list is included at the end of each chapter.

《代数拓扑基础与应用》：探索空间、结构与连续性的桥梁图书简介本书旨在为读者提供一个坚实而全面的代数拓扑学基础，并深入探讨其在现代数学、物理学乃至计算机科学中的广泛应用。代数拓扑学是现代数学的核心分支之一，它通过代数工具（如群、环、模）来研究拓扑空间的内在结构和性质，特别是那些在连续形变下保持不变的性质。本书的编写目标是引导读者从直观的几何概念过渡到严谨的代数构造，最终掌握运用拓扑不变量来区分不同空间的能力。全书结构清晰，逻辑严密，内容涵盖了代数拓扑学的经典主题，并融入了最新的研究进展和计算方法。我们力求在保持数学严谨性的同时，通过大量的例子和可视化图形，帮助初学者建立起对抽象概念的直观理解。 --- 第一部分：拓扑空间的奠基 (Foundations of Topological Spaces) 本部分是全书的基石，详细介绍了构建代数拓扑研究所需的基本概念和工具。第一章：拓扑空间的引入与基本性质本章从集合论出发，系统地定义了拓扑空间的概念，包括开集、闭集、邻域和拓扑基。我们详细讨论了常见的拓扑结构，如度量空间诱导的拓扑、有限集拓扑、余有限拓扑等，并对比了它们的性质。重点分析了连续函数在拓扑空间之间的意义，阐述了同胚（Homeomorphism）作为拓扑性质等价性的核心概念。此外，我们引入了分离公理（如 $T_1, T_2$（豪斯多夫）、正则性和完全正则性），这些公理对于后续研究许多重要的拓扑空间至关重要。第二章：连通性与紧致性连通性和紧致性是拓扑空间最重要的两个全局性质。本章首先深入探讨了连通性，包括路径连通性，并证明了路径连通性蕴含连通性的一系列重要定理，特别是在欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的应用。随后，我们转向紧致性，详细讨论了 Heine-Borel 定理及其在 $mathbb{R}^n$ 中的重要性。我们特别关注了紧致空间的子空间、有限集的并集以及连续函数像的性质，这些是建立代数不变量（如同调群）的先决条件。第三章：构造空间：商空间与乘积空间本章着重于如何利用已有的拓扑空间构造出更复杂、更具代表性的新空间。我们详细讲解了商拓扑的构造方法及其在识别等价关系下的空间（如球面、环面）中的作用。乘积拓扑的引入则为研究高维结构和函数空间打下基础。通过大量的例子，读者将理解商空间如何将复杂的几何对象简化为代数结构进行分析。 --- 第二部分：代数不变量的构建 (Construction of Algebraic Invariants) 这是本书的核心部分，旨在介绍如何将拓扑问题转化为可计算的代数问题。第四章：基本群与覆盖空间本章是代数拓扑学中最直观的代数不变量——基本群 $pi_1(X)$ 的引入。我们定义了环路、同伦的概念，并严格证明了基本群在给定基点下的群结构。重点分析了圆周 $S^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$，这为理解后续的同调理论提供了关键的直观模型。随后，我们引入了覆盖空间的概念，并详细阐述了 Lifting 判定准则。Deck Transformation 群与基本群之间的深刻联系，特别是万能覆盖空间（Simply Connected Space）的性质，将被详尽讨论。第五章：同调论导论：奇异同调本章是通向更强大的不变量——同调群的入口。我们首先构建了链复形（Chain Complexes）的代数框架，并定义了边界算子。在此基础上，我们引入了奇异链群 $C_n(X)$，并清晰地定义了边缘和循环，最终给出循环群 $Z_n(X)$、边界群 $B_n(X)$ 以及同调群 $H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X)$ 的精确定义。本书将使用大量图示来解释高维链和边界的几何意义，并详细论证同调群的函子性（Functoriality），即连续映射诱导出同态。第六章：同调群的性质与计算本章专注于计算与证明。我们将证明同调群具有拓扑不变性，即同胚的空间具有同构的同调群。我们详细计算了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$、球面 $S^n$、圆环面等基本空间的同调群，展示如何利用这些群来严格区分拓扑上不同的空间（例如证明 $S^2$ 与圆环面 $T^2$ 不同胚）。此外，我们将介绍艾伦贝格-斯廷罗德公理体系的初步思想，以说明同调理论的普适性。第七章：精确序列与迈耶-维托里斯序列为了计算更复杂空间的同调群，本章引入了强大的代数工具——长正合序列。我们详细介绍了短正合序列在链复形中的表现，并着重讲解了迈耶-维托里斯（Mayer-Vietoris）序列的构造和应用。该序列允许我们将一个空间分解为两个重叠的子空间，通过计算子空间的同调群来推导出整个空间的同调群，是计算环面、楔和复杂联结空间同调群的核心技术。 --- 第三部分：同调的推广与应用 (Extensions and Applications of Homology) 本部分将拓扑学工具推广到更一般的代数框架，并展示其在现代科学中的力量。第八章：系数域的推广与万有系数定理我们讨论了同调群系数域的改变，从整数域 $mathbb{Z}$ 推广到任意阿贝尔群 $G$（如 $mathbb{Q}$ 或 $mathbb{Z}_p$）。重点在于阐述万有系数定理 (Universal Coefficient Theorem)，该定理揭示了同调群 $H_n(X; G)$ 如何由系数为 $mathbb{Z}$ 的同调群 $H_n(X)$ 和 $mathbb{Z}$ 的上同调群 $ ext{Ext}(H_{n-1}(X), G)$ 唯一决定。第九章：上同调理论导论上同调是同调理论的对偶概念，它在代数几何和微分几何中扮演着至关重要的角色。本章从张量积和 $ ext{Hom}$ 函子出发，定义了上链复形和上同调群 $H^n(X; G)$。我们将探讨上同调群的乘法结构，即下吉尼乘积 (Cup Product)，并展示它如何赋予了拓扑空间一个丰富的代数环结构。第十章：流形与微分同胚的拓扑视角虽然本书主要关注代数拓扑，本章将连接到微分拓扑的领域。我们将简要介绍流形（Manifolds）的拓扑定义，并使用同调工具来研究流形的性质，如定向性（Orientability）。通过介绍李查德-黎曼定理（Poincaré Duality）的拓扑版本（即庞加莱对偶定理），我们揭示了 $n$ 维流形的高维同调群与其低维同调群之间深层次的对偶关系，这在物理学和几何学中具有极高的价值。 --- 目标读者与学习收获本书适合具有扎实线性代数和抽象代数基础（群论、环论）的研究生、高年级本科生以及希望将拓扑学知识应用于其他领域的科研人员。通过学习本书，读者将能够： 1. 熟练掌握拓扑空间的定义、性质及其在几何分析中的基础作用。 2. 理解如何从连续形变中提取出代数不变量，特别是基本群和奇异同调群。 3. 运用迈耶-维托里斯序列等工具，系统地计算复杂空间的代数拓扑不变量。 4. 建立起代数拓扑学与代数几何、几何分析等其他数学分支之间的联系。本书致力于提供一套完整的工具箱，使读者能够自信地运用拓扑学方法解决前沿的科学问题。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我必须说，《Mathematics of Optimization》在构建理论框架方面做得相当出色，尽管我可能还没有完全消化其中的所有内容。这本书的一大特点是它在引入一个新概念时，会先对其进行严谨的数学定义，然后再逐步展开讨论其性质和应用。例如，在介绍最优性条件时，它并没有直接跳到KKT条件，而是先从无约束优化的必要条件和充分条件讲起，然后逐渐过渡到有约束的情况，并通过一系列的数学推导，展示了KKT条件是如何自然地从这些基本原理中衍生出来的。这种循序渐进的学习方式，对于我这种更偏重理论严谨性的读者来说，非常有帮助。书中对一些证明的阐述也十分细致，即使是一些比较复杂的定理，也能够找到清晰的逻辑脉络。我特别欣赏它在探讨对偶理论时，所表现出的深度。它不仅解释了对偶问题的定义和性质，还深入分析了弱对偶性和强对偶性之间的关系，并解释了为什么在很多实际问题中，求解对偶问题比求解原始问题更容易。这本书给我带来的最大感受是，优化问题不仅仅是求解一个数值，更是一个深刻的数学理论体系，它与线性代数、微积分、概率论等多个数学分支都有着紧密的联系。我需要花更多的时间去回顾和理解其中的数学细节，但这本书无疑为我打开了一扇通往更深层次优化理论的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本《Mathematics of Optimization》真的让我大开眼界，虽然我接触数学优化的时间不算特别长，但这本书的内容深度和广度绝对超出了我的预期。我一直以为优化的学习路径会相对线性，从基础理论到具体算法，但这本书似乎跳出了这种思维定式。它在介绍核心概念时，并没有直接铺陈大量的公式和证明，而是巧妙地将实际的应用场景融入其中，例如在讲解凸集和凸函数时，它会提及一些在机器学习中如何用于模型训练的例子，让人能立刻感受到理论的价值。我尤其喜欢它在讨论拉格朗日乘子法时，并没有仅仅停留在求解等式约束的最优化问题，而是进一步探讨了如何将其推广到不等式约束，并且还举了一个在经济学领域资源分配的生动案例，让我对这种方法的普适性有了更深刻的理解。书中对一些经典算法的描述也相当详尽，比如梯度下降法，它不仅解释了算法的原理，还讨论了收敛速度、步长选择等关键问题，甚至还涉及了一些更高级的变种，比如随机梯度下降，并解释了它在处理大规模数据集时的优势。我感觉这本书更像是一位经验丰富的导师，在引导我一步步探索优化世界的奥秘，而不是枯燥的教科书。它激发了我进一步深入研究的兴趣，让我迫不及待想去了解更多关于约束优化、非线性优化以及全局优化等更复杂的课题。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉是，它在教学方法上非常具有创新性，而且很有针对性。对于我这样已经有一些基础，但希望能够更系统地梳理和拓展知识面的读者来说，这本书正好满足了我的需求。我发现它在介绍一些高级优化技术时，并没有回避其数学上的复杂性，但同时又能够以一种非常直观的方式来呈现。比如，在讨论牛顿法及其变种时，它不仅仅是给出公式，还配上了图形解释，说明了牛顿法如何利用二阶导数信息来加速收敛，以及它在遇到奇异Hessian矩阵时可能遇到的问题。而且，它还引入了拟牛顿法，并详细解释了BFGS算法的更新公式是如何通过近似Hessian矩阵来规避直接计算的困难。这本书还特别强调了数值稳定性在实际计算中的重要性，并对一些算法在处理病态问题时的表现进行了分析。我非常赞同它在提到算法效率时，不仅仅关注理论上的时间复杂度，还强调了实际运行时间和内存占用等方面的考量。这本书让我意识到，优化算法的选择不仅仅取决于理论上的最优性，更需要结合具体的应用场景和计算资源来综合判断。它为我提供了一种更实际、更全面的视角来看待优化问题的解决。

评分☆☆☆☆☆

《Mathematics of Optimization》这本书的内容，给我的感觉更像是一次对“模型”本身的深入剖析。我一直认为，很多优化问题之所以难以解决，根源在于我们对问题的建模不够准确，或者说，模型本身存在一些固有的局限性。这本书在这方面给了我很多启发。它在讨论不同类型的优化模型时，比如线性规划、整数规划、二次规划等等，并没有简单地给出它们的数学形式，而是深入探讨了每种模型适合解决的问题类型，以及它们各自的优缺点。例如，在介绍整数规划时，它详细解释了为什么将连续变量强制约束为整数会导致问题的NP-hard性质，以及如何通过一些松弛技术和分支定界法来近似求解。书中还提到了半定规划，这是一个我之前接触较少但非常感兴趣的领域，它似乎在处理一些量子计算和组合优化问题时有着重要的应用。这本书让我意识到，优化不仅仅是寻找一个最优解，更是关于如何选择和构建一个恰当的模型来描述和解决现实世界的问题。它鼓励我去思考，在面对一个实际问题时，我们应该如何将其转化为一个可解的数学模型，以及不同模型之间的权衡取舍。

评分☆☆☆☆☆

从我个人的角度来看，这本书给我带来的最大价值在于它对“几何”和“拓扑”在优化中的应用进行了非常精彩的阐述，这是一种我之前很少关注的视角。通常我们在学习优化时，更多地聚焦于代数和微积分，但这本书却将几何直观性贯穿始终。例如，在讲解可行域和最优解时，它通过丰富的二维和三维图形，清晰地展示了凸集、超平面、分离定理等概念。我还记得它在讨论对偶理论时，也巧妙地运用了几何解释，将对偶可行域和最优对偶值与原始问题的几何结构联系起来。这种几何化的思考方式，极大地加深了我对抽象数学概念的理解。它让我不再将优化仅仅看作是一系列冰冷的公式推导，而是看到了其中蕴含的几何美感和直观逻辑。此外，书中还涉及了一些拓扑学上的概念，比如紧集、连通集等，这些概念在证明一些优化定理时起到了至关重要的作用。这本书让我体会到，数学是相互关联的，不同分支的数学工具可以相互启发，共同构建一个更完整的知识体系。它鼓励我尝试用更广阔的视角去理解和解决优化问题。

评分☆☆☆☆☆