目錄
第1章 幾何和復算術. 1
1.1 引言 1
1.1.1 曆史的概述 1
1.1.2 龐貝利的＂奇想＂ 3
1.1.3 一些術語和記號 5
1.1.4 練習 6
1.1.5 符號算術和幾何算術的等價性 7
1.2 歐拉公式 8
1.2.1 引言 8
1.2.2 用質點運動來論證 9
1.2.3 用冪級數來論證 10
1.2.4 用歐拉公式來錶示正弦和餘弦 12
1.3 一些應用 12
1.3.1 引言 12
1.3.2 三角 13
1.3.3 幾何 14
1.3.4 微積分 17
1.3.5 代數 19
1.3.6 嚮量運算 24
1.4 變換與歐氏幾何 26
1.4.1 剋萊因眼中的幾何 26
1.4.2 運動的分類 30
1.4.3 三反射定理 32
1.4.4 相似性與復算術 34
1.4.5 空間復數 37
1.5 習題 3
第2章 作為變換看的復函數 47
2.1 引言 47
2.2 多項式 49
2.2.1 正整數冪 49
2.2.2 迴顧三次方程 50
2.2.3 卡西尼麯綫 51
2.3 冪級數 54
2.3.1 實冪級數的神秘之處 54
2.3.2 收斂圓 57
2.3.3 用多項式逼近冪級數 60
2.3.4 唯一性 61
2.3.5 對冪級數的運算 62
2.3.6 求收斂半徑 64
2.3.7 傅裏葉級數 67
2.4 指數函數 69
2.4.1 冪級數方法 69
2.4.2 這個映射的幾何意義 70
2.4.3 另一種方法 71
2.5 餘弦與正弦 73
2.5.1 定義與恒等式 73
2.5.2 與雙麯函數的關係 74
2.5.3 映射的幾何 76
2.6 多值函數 78
2.6.1 例子：分數冪 78
2.6.2 多值函數的單值支 80
2.6.3 與冪級數的關聯 82
2.6.4 具有兩個支點的例子 83
2.7 對數函數 85
2.7.1 指數函數的逆 85
2.7.2 對數冪級數 87
2.7.3 一般冪級數 88
2.8 在圓周上求平均值 89
2.8.1 質心 89
2.8.2 在正多邊形上求平均值 91
2.8.3 在圓周上求平均值 94
2.9 習題 96
第3章 默比烏斯變換和反演 106
3.1 引言 106
3.1.1 默比烏斯變換的定義和意義 106
3.1.2 與愛因斯坦相對論的聯係 107
3.1.3 分解為簡單的變換 107
3.2 反演 108
3.2.1 初步的定義和事實 108
3.2.2 圓周的保持 110
3.2.3 用正交圓周構作反演點 112
3.2.4 角的保持 114
3.2.5 對稱性的保持 115
3.2.6 對球麵的反演 116
3.3 反演應用的三個例子 118
3.3.1 關於相切圓的問題 118
3.3.2 具有正交對角綫的四邊形的一個奇怪的性質 119
3.3.3 托勒密定理 120
3.4 黎曼球麵 121
3.4.1 無窮遠點 121
3.4.2 球極射影 121
3.4.3 把復函數轉移到球麵上 124
3.4.4 函數在無窮遠點的性態 125
3.4.5 球極射影的公式 127
3.5 默比烏斯變換：基本結果 129
3.5.1 圓周.角度和對稱性的保持 129
3.5.2 係數的非唯一性 130
3.5.3 群性質 131
3.5.4 不動點 132
3.5.5 無窮遠處的不動點 132
3.5.6 交比 134
3.6 默比烏斯變換作為矩陣 136
3.6.1 與綫性代數的聯係的經驗上的證據 136
3.6.2 解釋:齊次坐標 138
3.6.3 特徵嚮量與特徵值 139
3.6.4 球麵的鏇轉作為默比烏斯變換 141
3.7 可視化與分類 143
3.7.1 主要思想 143
3.7.2 橢圓型.雙麯型和斜駛型變換 144
3.7.3 乘子的局部幾何解釋 146
3.7.4 拋物型變換 147
3.7.5 計算乘子 149
3.7.6 用特徵值解釋乘子 150
3.8 分解為2個或4個反射 151
3.8.1 引言 151
3.8.2 橢圓型情況 151
3.8.3 雙麯型情況 152
3.8.4 拋物型情況 154
3.8.5 總結 154
3.9 單位圓盤的自同構 155
3.9.1 計算自由度的數目 155
3.9.2 用對稱原理來求公式 156
3.9.3 最簡單的公式的幾何解釋 157
3.9.4 介紹黎曼映射定理 158
3.10 習題 159
第4章 微分學：伸扭的概念 166
4.1 引言 166
4.2 一個令人迷惑的現象 166
4.3 平麵映射的局部描述 168
4.3.1 引言 168
4.3.2 雅可比矩陣 168
4.3.3 伸扭的概念 170
4.4 復導數作為伸扭 170
4.4.1 重新考察實導數 170
4.4.2 復導數 171
4.4.3 解析函數 173
4.4.4 簡短的總結 174
4.5 一些簡單的例子 175
4.6 共形=解析 176
4.6.1 引言 176
4.6.2 在整個區域中的共形性 177
4.6.3 共形性與黎曼球麵 179
4.7 臨界點 179
4.7.1 擠壓的程度 179
4.7.2 共形性的破壞 180
4.7.3 支點 181
4.8 柯西－黎曼方程 182
4.8.1 引言 182
4.8.2 綫性變換的幾何學 183
4.8.3 柯西－黎曼方程 184
4.9 習題 185
第5章 微分學的進一步的幾何研究 190
5.1 柯西－黎曼的真麵目 190
5.1.1 引言 190
5.1.2 笛卡兒形式 190
5.1.3 極坐標形式 191
5.2 關於剛性的一個啓示 192
5.3 log(z)的可視微分法 195
5.4 微分學的各法則 196
5.4.1 復閤 196
5.4.2 反函數 197
5.4.3 加法與乘法 198
5.5 多項式.冪級數和有理函數 198
5.5.1 多項式 198
5.5.2 冪級數 199
5.5.3 有理函數 201
5.6 冪函數的可視微分法 201
5.7 exp(z)的可視微分法 203
5.8 E'=E的幾何解法 204
5.9 高階導數的一個應用：麯率 206
5.9.1 引言 206
5.9.2 麯率的解析變換 207
5.9.3 復麯率 209
5.10 天體力學 212
5.10.1 有心力場 212
5.10.2 兩類橢圓軌道 213
5.10.3 把第一種橢圓軌道變為第二種 215
5.10.4 力的幾何學 216
5.10.5 一個解釋 216
5.10.6 卡斯納－阿諾爾德定理 217
5.11 解析拓展 218
5.11.1 引言 218
5.11.2 剛性 219
5.11.3 唯一性 220
5.11.4 恒等式的保持 222
5.11.5 通過反射作解析拓展 223
5.12 習題 227
第6章 非歐幾何學 236
6.1 引言 236
6.1.1 平行綫公理 236
6.1.2 非歐幾何的一些事實 238
6.1.3 彎麯麯麵上的幾何學 239
6.1.4 內蘊幾何與外在幾何的對立 241
6.1.5 高斯麯率 241
6.1.6 常麯率麯麵 243
6.1.7 與默比烏斯變換的聯係 244
6.2 球麵幾何 245
6.2.1 球麵三角形的角盈 245
6.2.2 球麵上的運動：空間鏇轉和反射.. 246
6.2.3 球麵上的一個共形映射 249
6.2.4 空間鏇轉也是默比烏斯變換 252
6.2.5 空間鏇轉與四元數 256
6.3 雙麯幾何 259
6.3.1 曳物綫和僞球麵 259
6.3.2 僞球麵的常值負麯率 260
6.3.3 僞球麵上的一個共形映射 261
6.3.4 貝爾特拉米的雙麯平麵 263
6.3.5 雙麯直綫和反射 266
6.3.6 鮑耶－羅巴切夫斯基公式 269
6.3.7 保嚮運動的三種類型 271
6.3.8 把任意保嚮運動分解為兩個反射 275
6.3.9 雙麯三角形的角盈 277
6.3.10 龐加萊圓盤 279
6.3.11 龐加萊圓盤中的運動 282
6.3.12 半球麵模型與雙麯空間 285
6.4 習題 289
第7章 環繞數與拓撲學 29
7.1 環繞數 298
7.1.1 定義 298
7.1.2 “內”是什麼意思? 299
7.1.3 快速地求齣環繞數 299
7.2 霍普夫映射度定理 301
7.2.1 結果 301
7.2.2 環路作為圓周的映射 301
7.2.3 解釋 303
7.3 多項式與輻角原理 303
7.4 一個拓撲輻角原理 304
7.4.1 用代數方法來數原象個數 304
7.4.2 用幾何方法來數原象個數 306
7.4.3 解析函數在拓撲上有何特殊 307
7.4.4 拓撲輻角原理 309
7.4.5 兩個例子 310
7.5 魯歇定理 311
7.5.1 結果 311
7.5.2 代數的基本定理 312
7.5.3 布勞威爾不動點定理 313
7.6 最大值與最小值 313
7.6.1 最大模原理 313
7.6.2 相關的結果 315
7.7 施瓦茨－皮剋引理 315
7.7.1 施瓦茨引理 315
7.7.2 劉維爾定理 318
7.7.3 皮剋的結果 319
7.8 廣義輻角原理 321
7.8.1 有理函數 321
7.8.2 極點與本性奇點 323
7.8.3 解釋 325
7.9 習題 326
第8章 復積分：柯西定理 334
8.1 引言 334
8.2 實積分 335
8.2.1 黎曼和 335
8.2.2 梯形法則 336
8.2.3 誤差的幾何估計 337
8.3 復積分 339
8.3.1 復黎曼和 339
8.3.2 一個可視化技巧 341
8.3.3 一個有用的不等式 342
8.3.4 積分法則 342
8.4 復反演 343
8.4.1 一個圓弧 343
8.4.2 一般環路 344
8.4.3 環繞數 346
8.5 共軛映射 347
8.5.1 引言 347
8.5.2 用麵積來解釋 347
8.5.3 一般環路 349
8.6 冪函數 349
8.6.1 沿圓弧的積分 349
8.6.2 復反演作為極限情況 351
8.6.3 一般迴路和形變定理 351
8.6.4 定理的進一步推廣 353
8.6.5 留數 353
8.7 指數映射 355
8.8 基本定理 356
8.8.1 引言 356
8.8.2 一個例子 356
8.8.3 基本定理 357
8.8.4 積分作為原函數 359
8.8.5 對數作為積分 361
8.9 用參數作計算 362
8.10 柯西定理 363
8.10.1 一些預備知識 363
8.10.2 解釋 364
8.11 一般的柯西定理 366
8.11.1 結果 366
8.11.2 解釋 367
8.11.3 一個更簡單的解釋 368
8.11.4 迴路積分的一般公式 369
8.12 習題 370
第9章 柯西公式及其應用 377
9.1 柯西公式 377
9.1.1 引言 377
9.1.2 第一種解釋 377
9.1.3 高斯平均值定理 378
9.1.4 第二種解釋和一般柯西公式 379
9.2 無窮可微性和泰勒級數 380
9.2.1 無窮可微性 380
9.2.2 泰勒級數 381
9.3 留數計算 383
9.3.1 以極點為中心的羅朗級數 383
9.3.2 計算留數的一個公式 384
9.3.3 對實積分的應用 385
9.3.4 用泰勒級數計算留數 387
9.3.5 在級數求和上的應用 388
9.4 環形域中的羅朗級數 390
9.4.1 一個例子 390
9.4.2 羅朗定理 391
9.5 習題 394
第10章 嚮量場：物理學與拓撲學 398
10.1 嚮量場 398
10.1.1 復函數作為嚮量場 398
10.1.2 物理嚮量場 399
10.1.3 流場和力場 400
10.1.4 源和匯 402
10.2 環繞數與嚮量場 403
10.2.1 奇點的指數 403
10.2.2 龐加萊怎樣看指數 406
10.2.3 指數定理 407
10.3 閉麯麵上的流 408
10.3.1 龐加萊－霍普夫定理的陳述 408
10.3.2 定義麯麵上的指數 410
10.3.3 龐加萊－霍普夫定理的解釋 411
10.4 習題 413
第11章 嚮量場與復積分 417
11.1 流量與功 417
11.1.1 流量 417
11.1.2 功 419
11.1.3 局部流量和局部功 420
11.1.4 散度和鏇度的幾何形式 422
11.1.5 零散度和零鏇度嚮量場 423
11.2 從嚮量場看復積分 425
11.2.1 波利亞嚮量場 425
11.2.2 柯西定理 427
11.2.3 例子：麵積作為流量 428
11.2.4 例子：環繞數作為流量 429
11.2.5 嚮量場的局部性態 430
11.2.6 柯西公式 431
11.2.7 正冪 432
11.2.8 負冪和多極子 433
11.2.9 無窮遠處的多極子 435
11.2.10 羅朗級數作為多極子展開 435
11.3 復位勢 436
11.3.1 引言 436
11.3.2 流函數 437
11.3.3 梯度場 439
11.3.4 勢函數 440
11.3.5 復位勢 441
11.3.6 例 444
11.4 習題 445
第12章 流與調和函數 448
12.1 調和對偶 448
12.1.1 對偶流 448
12.1.2 調和對偶 451
12.2 共形不變性 453
12.2.1 調和性的共形不變性 453
12.2.2 拉普拉斯算子的共形不變性 454
12.2.3 拉普拉斯算子的意義 456
12.3 一個強有力的計算工具 457
12.4 迴顧復麯率 459
12.4.1 調和等勢綫的幾何性質 459
12.4.2 調和等勢綫的麯率 460
12.4.3 關於復麯率的進一步計算 463
12.4.4 復麯率的其他幾何性質 464
12.5 繞障礙物的流 466
12.5.1 引言 466
12.5.2 一個例子 466
12.5.3 鏡像法 470
12.5.4 把一個流映為另一個流 476
12.6 黎曼映射定理的物理學 478
12.6.1 引言 478
12.6.2 外映射和繞障礙物的流 479
12.6.3 內映射和偶極子 481
12.6.4 內映射.渦鏇和源 483
12.6.5 一個例子：圓盤的自同構 485
12.6.6 格林函數 487
12.7 狄裏希萊問題 491
12.7.1 引言 491
12.7.2 施瓦茨的解釋 492
12.7.3 圓盤的狄裏希萊問題 494
12.7.4 諾依曼和波歇的解釋 496
12.7.5 一般的格林公式 501
12.8 習題 504
參考文獻 507
譯後記... 514
· · · · · · (收起)